Explique detalhadamente cada fórmula, explicando o que cada termo significa, para o que serve e como utilizar. Explique de uma forma que a pessoa que ler consiga entender a matéria
Formulário:
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Passo 1
Resumindo o que temos: queremos descrever sistemas de primeira ordem sujeitados a duas entradas,
e
. A equação fundamental é uma equação diferencial
onde
– é a constante de tempo, que indica quão rápido o sistema responde;
– e
são ganhos estáticos para cada entrada;
– é a saída;
– e
são as entradas.
–
–
–
–
Para resolver e usar esse modelo, precisamos:
- Entender o papel de
e dos ganhos; - Saber integrar a equação diferencial para achar a solução no tempo contínuo;
- Discretizar (passar para
) se formos trabalhar em amostras; - Usar a soma de uma série geométrica para casos discretos;
- Calcular derivadas de exponenciais.
Passo 2
Explicando a equação diferencial
– O termo
representa a inércia do sistema: quanto maior
, mais lenta a variação de
.
– O termo aparece somado, forçando amortecimento.
– No lado direito, cada entrada e
é amplificada por seus ganhos
e
.
Para usar, basta conhecer ,
,
e as funções de entrada para integrar.
– O termo
– No lado direito, cada entrada
Para usar, basta conhecer
Passo 3
Solução no tempo contínuo com entradas constantes
Se e
são constantes e
é a condição inicial, a solução é
Se
–
é o transiente que decai conforme
.
– Cada termo é a retenção da entrada, partindo de zero e tendendo a
quando
.
Para utilizar, basta substituir ,
,
,
,
e os ganhos.
– Cada termo
Para utilizar, basta substituir
Passo 4
Solução no tempo discreto
Se amostrarmos com período fixo e definirmos
Se amostrarmos com período fixo e definirmos
a solução amostrada em
é
–
é o decaimento geométrico em
amostras.
– Os demais termos funcionam igual ao contínuo, mas usando .
Usamos quando processamos sinais digitalmente.
– Os demais termos funcionam igual ao contínuo, mas usando
Usamos quando processamos sinais digitalmente.
Passo 5
Fórmula da soma de progressão geométrica
Para somar as potências de em expressões discretas, vale
Para somar as potências de
Isso serve para calcular somatórios como
em respostas forçadas.
Passo 6
Derivada de
Se precisamos derivar um exponencial de base , usamos
Se precisamos derivar um exponencial de base
–
ajusta o crescimento de
.
– Útil ao diferenciar funções como (que é
).
– Útil ao diferenciar funções como
Resposta
Com essas fórmulas você tem:
- O modelo contínuo de primeira ordem e sua solução para entradas constantes;
- A versão discreta usando
; - Ferramentas matemáticas (soma geométrica e derivada de exponencial) para manipular e simplificar essas expressões em análise de sistemas.