Explique detalhadamente cada fórmula, explicando o que cada termo significa, para o que serve e como utilizar. Explique de uma forma que a pessoa que ler consiga entender a matéria
Formulário:
  • y(t)=y(0) e^{-t / \tau}+K_{\text {eu }} U_{0}\left(1-e^{-t / \tau}\right)+K_{\text {eq }} Q_{0}\left(1-e^{-t / \tau}\right) \operatorname{com} \tau>0
  • \tau \frac{d y(t)}{d t}+y(t)=K_{e u} u(t)+K_{e q} q(t) \operatorname{com} \tau>0
  • y(k)=y(0) a^{k}+K_{e u} U_{0}\left(1-a^{k}\right)+K_{e q} Q_{0}\left(1-a^{k}\right) \operatorname{com} 0<a<1
  • \sum_{i=0}^{i=n-1} a^{i}=\frac{a^{n}-1}{a-1}
  • \frac{d a^{x}}{d x}=a^{x} \ln (a)

Passo 1

Resumindo o que temos: queremos descrever sistemas de primeira ordem sujeitados a duas entradas, u e q. A equação fundamental é uma equação diferencial
\tau \frac{d y(t)}{d t} + y(t) = K_{e u}\,u(t) + K_{e q}\,q(t),
onde
\tau>0 é a constante de tempo, que indica quão rápido o sistema responde;
K_{e u} e K_{e q} são ganhos estáticos para cada entrada;
y(t) é a saída;
u(t) e q(t) são as entradas.
Para resolver e usar esse modelo, precisamos:
  1. Entender o papel de \tau e dos ganhos;
  2. Saber integrar a equação diferencial para achar a solução no tempo contínuo;
  3. Discretizar (passar para k) se formos trabalhar em amostras;
  4. Usar a soma de uma série geométrica para casos discretos;
  5. Calcular derivadas de exponenciais.

Passo 2

Explicando a equação diferencial
\tau \frac{d y(t)}{d t} + y(t) = K_{e u}\,u(t) + K_{e q}\,q(t).
– O termo \tau \tfrac{d y}{d t} representa a inércia do sistema: quanto maior \tau, mais lenta a variação de y.
– O termo y(t) aparece somado, forçando amortecimento.
– No lado direito, cada entrada u(t) e q(t) é amplificada por seus ganhos K_{e u} e K_{e q}.
Para usar, basta conhecer \tau, K_{e u}, K_{e q} e as funções de entrada para integrar.

Passo 3

Solução no tempo contínuo com entradas constantes
Se u(t)=U_{0} e q(t)=Q_{0} são constantes e y(0) é a condição inicial, a solução é
y(t)=y(0)\,e^{-t/\tau} \;+\; K_{e u}\,U_{0}\,\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) \;+\; K_{e q}\,Q_{0}\,\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
y(0)\,e^{-t/\tau} é o transiente que decai conforme e^{-t/\tau}.
– Cada termo K\,X_{0}(1-e^{-t/\tau}) é a retenção da entrada, partindo de zero e tendendo a K\,X_{0} quando t\to\infty.
Para utilizar, basta substituir t, \tau, y(0), U_{0}, Q_{0} e os ganhos.

Passo 4

Solução no tempo discreto
Se amostrarmos com período fixo e definirmos
a = e^{-T/\tau},\quad 0<a<1,
a solução amostrada em k é
y(k)=y(0)\,a^{k} \;+\; K_{e u}\,U_{0}\,\bigl(1-a^{k}\bigr) \;+\; K_{e q}\,Q_{0}\,\bigl(1-a^{k}\bigr).
a^{k} é o decaimento geométrico em k amostras.
– Os demais termos funcionam igual ao contínuo, mas usando a^{k}.
Usamos quando processamos sinais digitalmente.

Passo 5

Fórmula da soma de progressão geométrica
Para somar as potências de a em expressões discretas, vale
\sum_{i=0}^{n-1}a^{i} = \frac{a^{n}-1}{a-1}.
Isso serve para calcular somatórios como \sum_{i=0}^{k-1}a^{i}U_{0} em respostas forçadas.

Passo 6

Derivada de a^{x}
Se precisamos derivar um exponencial de base a, usamos
\frac{d\,a^{x}}{d x} = a^{x}\,\ln(a).
\ln(a) ajusta o crescimento de a^{x}.
– Útil ao diferenciar funções como e^{-t/\tau} (que é (e^{-1/\tau})^{t}).

Resposta

Com essas fórmulas você tem:
  • O modelo contínuo de primeira ordem e sua solução para entradas constantes;
  • A versão discreta usando a=e^{-T/\tau};
  • Ferramentas matemáticas (soma geométrica e derivada de exponencial) para manipular e simplificar essas expressões em análise de sistemas.

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