querendo ir de um estado inicial arbitrário x(0)=x_{0} até a origem em tempo mínimo.
Vamos aplicar o Princípio do Máximo de Pontryagin: construir o Hamiltoniano, obter as equações dos co‐estados e a lei de controle “bang–bang”.
Passo 2
Definimos o Hamiltoniano de Mayer com custo de tempo mínimo (integral de 1 em t):
H = -1 + \lambda_{1}\,x_{2} + \lambda_{2}\,\bigl(-a\,x_{2}+u\bigr).
Pela condição de máximo do PMP, u\) deve escolher-se para maximizar \(H\). Como \(H\) é afim em \(u\) com coeficiente \(\lambda_{2}\), temos o controle “bang–bang”
\[u^{*}(t)= \begin{cases} +1, & \lambda_{2}(t)>0,\\\\ -1, & \lambda_{2}(t)<0. \end{cases}
Definimos a função de comutação (\varphi(t)=\lambda_{2}(t)].
Passo 4
A equação de \varphi é linear:
\dot\varphi = a\,\varphi - c_{1}.
Resolvendo com condição inicial \varphi(0)=\phi_{0}, obtém‐se
onde os parâmetros \phi_{0}=\lambda_{2}(0) e c_{1}=\lambda_{1} são determinados a partir das condições de contorno x(tf)=0 e H=0. Em outras palavras, a lei de controle é “bang–bang” de intensidade máxima \pm1 com exatamente um instante de comutação (determinado pela raiz \varphi(t_s)=0).
Resposta
O controle ótimo de tempo mínimo é de natureza bang–bang