Encontre o controle ótimo satisfatório
|u(t)| \leq 1
que transfere o sistema
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=-a x_{2}(t)+u(t) \end{aligned}
de qualquer estado inicial arbitrário x 0 para a origem em tempo mínimo. Os controles admissíveis são limitados por
|u(t)| \leq 1
e a é um número real positivo.

Passo 1

O problema é um controle ótimo de tempo mínimo para o sistema
\dot x_{1}=x_{2},\quad \dot x_{2}=-a\,x_{2}+u,\quad |u|\le1
querendo ir de um estado inicial arbitrário x(0)=x_{0} até a origem em tempo mínimo.
Vamos aplicar o Princípio do Máximo de Pontryagin: construir o Hamiltoniano, obter as equações dos co‐estados e a lei de controle “bang–bang”.

Passo 2

Definimos o Hamiltoniano de Mayer com custo de tempo mínimo (integral de 1 em t):
H = -1 + \lambda_{1}\,x_{2} + \lambda_{2}\,\bigl(-a\,x_{2}+u\bigr).
As equações dos co‐estados vêm de
\dot\lambda_{i}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}},
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\dot\lambda_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_{1}(t)=c_{1}\quad(\text{constante}\neq0),
\dot\lambda_{2}=-\bigl(\lambda_{1}-a\lambda_{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \dot\lambda_{2}=a\,\lambda_{2}-c_{1}.

Passo 3

Pela condição de máximo do PMP, u\) deve escolher-se para maximizar \(H\). Como \(H\) é afim em \(u\) com coeficiente \(\lambda_{2}\), temos o controle “bang–bang” \[u^{*}(t)= \begin{cases} +1, & \lambda_{2}(t)>0,\\\\ -1, & \lambda_{2}(t)<0. \end{cases}
Definimos a função de comutação (\varphi(t)=\lambda_{2}(t)].

Passo 4

A equação de \varphi é linear:
\dot\varphi = a\,\varphi - c_{1}.
Resolvendo com condição inicial \varphi(0)=\phi_{0}, obtém‐se
\varphi(t) = \Bigl(\phi_{0}-\frac{c_{1}}{a}\Bigr)e^{a t} +\frac{c_{1}}{a}.
Assim \varphi(t) é monótona e só pode zerar uma vez. Logo u^{*}(t) comuta no máximo uma vez de +1 para -1 (ou vice-versa), determinando a lei ótima.

Passo 5

Em resumo, o controle ótimo satisfatório é
u^{*}(t) =\operatorname{sign}\!\bigl(\varphi(t)\bigr) =\begin{cases} +1,&\bigl(\phi_{0}-\tfrac{c_{1}}{a}\bigr)e^{a t}+\tfrac{c_{1}}{a}>0,\\\\ -1,&\bigl(\phi_{0}-\tfrac{c_{1}}{a}\bigr)e^{a t}+\tfrac{c_{1}}{a}<0, \end{cases}
onde os parâmetros \phi_{0}=\lambda_{2}(0) e c_{1}=\lambda_{1} são determinados a partir das condições de contorno x(tf)=0 e H=0. Em outras palavras, a lei de controle é “bang–bang” de intensidade máxima \pm1 com exatamente um instante de comutação (determinado pela raiz \varphi(t_s)=0).

Resposta

O controle ótimo de tempo mínimo é de natureza bang–bang
u^{*}(t)=\operatorname{sign}\bigl(\lambda_{2}(t)\bigr),
com \lambda_{1}=c_{1} constante e
\lambda_{2}(t) =\Bigl(\lambda_{2}(0)-\tfrac{c_{1}}{a}\Bigr)e^{a t}+\tfrac{c_{1}}{a},
e comutação única no instante t_s em que \lambda_{2}(t_s)=0.

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