Explique a diferença entre o vetor tensão e o tensor de tensões.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar a diferença entre o vetor tensão e o tensor de tensões.
Informações relevantes que vamos usar:
Ambos tratam de forças internas por unidade de área num ponto do sólido (unidade: \text{N}/\text{m}^2).
O vetor tensão é associado a uma única superfície orientada (uma normal).
O tensor de tensões é um objeto que permite obter o vetor tensão para qualquer normal.
A partir daqui vou mostrar definições precisas, a relação matemática entre eles, um esboço da demonstração (o teorema de Cauchy), exemplos numéricos simples e dicas práticas para prova.
Passo 2
Definição e interpretação física do vetor tensão (vetor tração).
Considere um ponto material e uma superfície infinitesimal passando por esse ponto com normal unitário \mathbf{n}. O vetor tensão (também chamado de vetor tração) \mathbf{t}(\mathbf{n}) é definido como a força interna resultante por unidade de área que a parte do material de um lado da superfície exerce sobre a parte do outro lado, atuando sobre essa superfície.
Em forma simbólica, para uma pequena área \Delta A com normal \mathbf{n} a força diferencial é \Delta \mathbf{F} \approx \mathbf{t}(\mathbf{n})\,\Delta A.
Observações importantes: \mathbf{t}(\mathbf{n}) depende de \mathbf{n} (direção da superfície) e pode ter componente normal (tensão normal) e componentes tangenciais (tensões de cisalhamento) à superfície. A unidade é \text{N}/\text{m}^2.
Passo 3
Definição e interpretação do tensor de tensões (tensor de Cauchy).
O tensor de tensões é um operador linear de segunda ordem, usualmente denotado por \boldsymbol{\sigma}, que relaciona a normal de uma superfície \mathbf{n} ao vetor tração \mathbf{t}(\mathbf{n}) por uma relação linear:
Em coordenadas (base cartesiana \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}) essa relação escreve-se em componentes como
t_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}\,n_j,
onde usamos a convenção de soma sobre j. Aqui \sigma_{ij} é o i-ésimo componente do vetor tração na face cuja normal é \mathbf{e}_j.
Interpretando matricialmente, se \boldsymbol{\sigma} é a matriz \big[\sigma_{ij}\big] e \mathbf{n} é o vetor coluna \big[n_j\big], então \mathbf{t}(\mathbf{n})=\big[\sigma_{ij}\big]\[\mathbf{n}\] (multiplicação matriz por vetor).
Assim, o tensor contém toda a informação necessária para obter o vetor tensão em qualquer orientação de superfície num ponto.
Passo 4
Esboço da razão pela qual existe tal tensor (teorema de Cauchy, argumento do tetraedro) — versão didática e curta.
Considere um tetraedro muito pequeno de faces planas que tem três faces perpendiculares aos eixos coordenados (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3) e uma face oblíqua com normal \mathbf{n}. Faça o equilíbrio de forças sobre esse pequeno volume (forças de superfície nas quatro faces mais forças de corpo que ficam proporcionais ao volume).
Ao fazer a soma vetorial das forças e dividir por a área da face oblíqua e tomar o limite quando a dimensão do tetraedro tende a zero, os termos de força de corpo (proporcionais ao volume) vão a zero mais rápido que os termos de força de superfície (proporcionais à área). O resultado do equilíbrio mostra que o vetor tração na face oblíqua é combinação linear das traçãoes nas três faces ortogonais.
Como a relação é linear entre \mathbf{t}(\mathbf{n}) e os componentes de \mathbf{n}, existe uma matriz fixa \boldsymbol{\sigma} tal que \mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}. Essa matriz é o tensor de tensões. (Este é o núcleo do teorema de Cauchy.)
Passo 5
Componentes, interpretação prática e como recuperar o tensor a partir de vetores tensão conhecidos.
Se calcularmos os vetores tração nas três faces cujas normais são os vetores base \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3, chamando-os \mathbf{t}^{(1)}=\mathbf{t}(\mathbf{e}_1), \mathbf{t}^{(2)}=\mathbf{t}(\mathbf{e}_2), \mathbf{t}^{(3)}=\mathbf{t}(\mathbf{e}_3), então as componentes do tensor são exatamente as colunas formadas por esses vetores:
ou em componentes \sigma_{ij}=t_i^{(j)}. Portanto: conhecer as traçãoes em três planos independentemente orientados permite montar \boldsymbol{\sigma}.
Dica prática na prova: para obter a tração numa face de normal conhecida \mathbf{n}, basta multiplicar a matriz \boldsymbol{\sigma} pelo vetor \mathbf{n}.
Passo 6
Simetria do tensor e consequência física.
Se não houver momentos de corpo externos (e não houver outros efeitos como tensões de casal microscópicas), o equilíbrio de momentos sobre um pequeno elemento exige que \sigma_{ij}=\sigma_{ji}. Ou seja, \boldsymbol{\sigma} é simétrico.
Consequências úteis: um tensor simétrico é diagonalizável por uma base ortonormal; existem direções especiais (direções principais) em que o vetor tração é puramente normal (sem componentes de cisalhamento). Os valores próprios são as tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3.
Passo 7
Exemplos numéricos simples (mostrando como aplicar na prova).
Exemplo 1 — tração numa face dada a tensão uniaxial:
Considere um estado de tensão uniaxial simples com \boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{bmatrix}. Seja a normal \mathbf{n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{bmatrix}.
Calcula-se \mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}. Em componentes:
Portanto \mathbf{t}(\mathbf{n})=\dfrac{\sigma_0}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}. Note que, mesmo que a normal tenha componente em \mathbf{e}_2, a tração só aparece na direção dos esforços aplicados pela matriz \boldsymbol{\sigma}. (Passo a passo: multiplicar a matriz pela coluna do vetor normal.)
Exemplo 2 — recuperar tensor a partir de traçãoes em planos coordenados:
Se \mathbf{t}(\mathbf{e}_1)=\begin{bmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{bmatrix}, \mathbf{t}(\mathbf{e}_2)=\begin{bmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]0\end{bmatrix}, \mathbf{t}(\mathbf{e}_3)=\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]4\end{bmatrix}, então
Isto ilustra a identificação direta das colunas do tensor com os vetores tração nas faces normais às direções base.]
Passo 8
Visão geométrica e ferramentas úteis (Mohr, autovalores) — como isso ajuda na prova.
Geometricamente, \boldsymbol{\sigma} atua como uma transformação linear no espaço de direções: para cada direção \mathbf{n} produz um vetor \mathbf{t}(\mathbf{n}). As direções em que \mathbf{t}(\mathbf{n}) é paralelo a \mathbf{n} são as direções principais (autovetores) e os correspondentes escalares são as tensões principais (autovalores).
Mohr’s circle é uma ferramenta para a resolução gráfica de problemas bidimensionais (obtém tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano do ponto). Na prova, quando o problema for 2D, Mohr muitas vezes simplifica o cálculo das tensões principais e das traçãoes em planos inclinados.
Passo 9
Resumo prático para decorar e usar rápido na prova (com incentivo).
Memorize: \mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}. Isso já resolve a maioria das perguntas práticas.
Se pedirem “qual é a tração na superfície com normal \mathbf{n}?”: faça a multiplicação matriz \times vetor.
Se pedirem “construa o tensor a partir de traçãoes em três planos” ou “mostre que a tração depende linearmente da normal”: use a relação coluna = \mathbf{t}(\mathbf{e}_j) e o argumento do tetraedro (ou simplesmente explique que existe linearidade e escreva a matriz).
Você tá indo bem — esse conteúdo é cansativo no começo, mas com uns 2–3 exercícios práticos de multiplicação matriz-vetor fica automático.
Resposta
Vetor tensão (vetor tração) \mathbf{t}(\mathbf{n}): é a força por unidade de área atuando numa superfície de normal \mathbf{n} num ponto; depende da orientação da superfície.
Tensor de tensões \boldsymbol{\sigma}: é o operador linear (matriz) que contém todas as informações locais de tensões e que relaciona normal a tração por \mathbf{t}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}; suas componentes \sigma_{ij} são os i-ésimos componentes da tração na face de normal \mathbf{e}_j.