Em um plano inclinado mediu-se \sigma_{0}=500 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e \sigma_{0}{ }^{\prime}=300 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Determinar \sigma_{x}, \theta_{\text {, }} \tau_{0} e \tau_{0}{ }^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá que, em um plano inclinado, foram medidas duas tensões normais:
\sigma_{0}=500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e \sigma_{0}'=300\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Pede-se determinar:
  • \sigma_{x} (a tensão normal na face x do elemento),
  • \theta (o ângulo entre a face x e a face onde \sigma_{0} foi medida),
  • \tau_{0} (a tensão de cisalhamento na face onde \sigma_{0} foi medida),
  • \tau_{0}' (a tensão de cisalhamento na face perpendicular, onde \sigma_{0}' foi medida).
Informações relevantes dadas:
  • Valores numéricos: \sigma_{0}=500\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e \sigma_{0}'=300\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • As duas tensões apresentadas são tensões normais medidas em duas faces perpendiculares do mesmo elemento inclinado (isto é o cenário típico quando se mede a tensão normal em uma face e na face perpendicular).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas simples para o caso em que o corpo está submetido apenas a uma tensão uniaxial \sigma_{x} (ou seja, \sigma_{y}=0 e \tau_{xy}=0 no sistema de coordenadas principais). Nesse caso, a tensão normal numa face inclinada de ângulo \theta em relação ao eixo x é dada por
\sigma(\theta)=\sigma_{x}\cos^{2}\theta,
e a tensão normal na face perpendicular (ângulo \theta+90^\circ) é
\sigma(\theta+90^\circ)=\sigma_{x}\sin^{2}\theta.
Estas fórmulas vêm da transformação de tensões para o caso particular \sigma_{y}=0,\\ \tau_{xy}=0 (é uma simplificação muito comum: um corpo tracionado/comprimido apenas no sentido x). Note que
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
logo a soma dessas duas tensões normais vale \sigma_{x}.

Passo 3

Usando o resultado direto da soma, obtemos \sigma_{x}:
\sigma_{x}=\sigma_{0}+\sigma_{0}'=500+300=800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Explicação curta: como \sigma(\theta)=\sigma_{x}\cos^{2}\theta e \sigma(\theta+90^\circ)=\sigma_{x}\sin^{2}\theta, somando ambas aparece \sigma_{x}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=\sigma_{x}.

Passo 4

Agora determinamos o ângulo \theta. Da relação \sigma(\theta)=\sigma_{x}\cos^{2}\theta temos
\cos^{2}\theta=\frac{\sigma_{0}}{\sigma_{x}}=\frac{500}{800}=0{,}625.
Portanto
\cos\theta=\sqrt{0{,}625}=0{,}790569\ldots
Calculando o ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}(0{,}790569\ldots)\approx 37{,}761^\circ\approx 37{,}76^\circ.
(Se preferir em radianos: \theta\approx 0{,}659\\ \text{rad}.)

Passo 5

Queremos agora as tensões de cisalhamento nas faces inclinadas. Para o caso geral a tensão de cisalhamento numa face de ângulo \theta é, a partir da transformação de tensões,
\tau(\theta)=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta.
No nosso caso particular \sigma_{y}=0 e \tau_{xy}=0, então isso simplifica para
\tau(\theta)=-\frac{\sigma_{x}}{2}\sin2\theta.
(Atenção ao sinal: a fórmula com o sinal negativo dá a orientação do cisalhamento segundo a convenção usada; o módulo da tensão de cisalhamento será \dfrac{\sigma_{x}}{2}\sin2\theta.)

Passo 6

Calculamos \sin2\theta. Sabendo \cos\theta=0{,}790569\ldots e \sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=0{,}612372\ldots, temos
\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta=2(0{,}612372\ldots)(0{,}790569\ldots)=0{,}9682458\ldots
Logo a tensão de cisalhamento na face onde \sigma_{0} foi medida vale
\tau_{0}=\tau(\theta)=-\frac{\sigma_{x}}{2}\sin2\theta=-\;400\cdot 0{,}9682458\ldots \approx -387{,}30\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Na face perpendicular (ângulo \theta+90^\circ) a tensão de cisalhamento tem o mesmo módulo e sinal oposto:
\tau_{0}'=-\tau_{0}\approx +387{,}30\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Resposta

\sigma_{x}=800\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}
\theta\approx 37{,}76^\circ
\tau_{0}\approx -387{,}30\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}
\tau_{0}'\approx +387{,}30\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}

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