Em um plano inclinado mediu-se
e
. Determinar
e
.
Passo 1
O enunciado dá que, em um plano inclinado, foram medidas duas tensões normais:
e
.
Pede-se determinar:
Pede-se determinar:
-
(a tensão normal na face do elemento), -
(o ângulo entre a face e a face onde foi medida), -
(a tensão de cisalhamento na face onde foi medida), -
(a tensão de cisalhamento na face perpendicular, onde foi medida).
Informações relevantes dadas:
- Valores numéricos:
e . - As duas tensões apresentadas são tensões normais medidas em duas faces perpendiculares do mesmo elemento inclinado (isto é o cenário típico quando se mede a tensão normal em uma face e na face perpendicular).
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas simples para o caso em que o corpo está submetido apenas a uma tensão uniaxial
(ou seja,
e
no sistema de coordenadas principais). Nesse caso, a tensão normal numa face inclinada de ângulo
em relação ao eixo
é dada por
e a tensão normal na face perpendicular (ângulo
) é
Estas fórmulas vêm da transformação de tensões para o caso particular
(é uma simplificação muito comum: um corpo tracionado/comprimido apenas no sentido
). Note que
logo a soma dessas duas tensões normais vale
.
Passo 3
Usando o resultado direto da soma, obtemos
:
Explicação curta: como
e
, somando ambas aparece
.
Passo 4
Agora determinamos o ângulo
. Da relação
temos
Portanto
Calculando o ângulo:
(Se preferir em radianos:
.)
Passo 5
Queremos agora as tensões de cisalhamento nas faces inclinadas. Para o caso geral a tensão de cisalhamento numa face de ângulo
é, a partir da transformação de tensões,
No nosso caso particular
e
, então isso simplifica para
(Atenção ao sinal: a fórmula com o sinal negativo dá a orientação do cisalhamento segundo a convenção usada; o módulo da tensão de cisalhamento será
.)
Passo 6
Calculamos
. Sabendo
e
, temos
Logo a tensão de cisalhamento na face onde
foi medida vale
Na face perpendicular (ângulo
) a tensão de cisalhamento tem o mesmo módulo e sinal oposto: