Explique a equação do físico austríaco Erwin Schrodinger, conhecida como equação de onda, mostrando cada termo da sua equação.

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos a equação de onda de Schr"odinger, que é a equação fundamental da mec^anica qu^antica e descreve como a fun\c{c}~ao de onda de uma part’icula evolui no tempo e no espa\c{c}o. Para isso vamos usar c’alculo de derivadas parciais, 'algebra de operadores (Laplaciano) e conceitos f’isicos como energia cin’etica e potencial.

Passo 2

A forma dependente do tempo da equa\c{c}~ao de Schr"odinger livre, no espa\c{c}o tridimensional, `e
i ,hbar,partialpartial tPsi(r,t) = -,hbar^22m,nabla^2Psi(r,t) + V(r,t),Psi(r,t)

Passo 3

O termo à esquerda,
i ,hbar,partialpartial tPsi(r,t),
contém
i: unidade imaginária, que garante a oscilação de fase da função de onda;
hbar: constante de Planck reduzida, hbar = h2pi;
partial/partial t: derivada parcial em relação ao tempo, descrevendo a taxa de mudança da função de onda.

Passo 4

O primeiro termo à direita,
-,hbar^22m,nabla^2Psi(r,t),
é o operador de energia cinética, onde
m é a massa da partícula;
nabla^2 (Laplaciano) corresponde à soma das segundas derivadas espaciais partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2;
– o fator -hbar^2/2m ajusta as unidades para energia.

Passo 5

O segundo termo à direita,
V(r,t),Psi(r,t),
é o potencial externo agindo sobre a partícula, em que
V(r,t) representa a energia potencial em cada ponto do espaço e instante;
– a multiplicação por Psi aplica esse potencial à amplitude de probabilidade.

Passo 6

Em conjunto, essa equação relaciona a variação temporal da função de onda com a soma das energias cinética e potencial naquele ponto. A solução Psi(r,t) contém toda a informação sobre probabilidades de localização e de momento da partícula.

Resposta

A equa\c{c}~ao de onda de Schr"odinger dependente do tempo `e
i ,hbar,partialpartial tPsi(r,t) = -,hbar^22m,nabla^2Psi(r,t) + V(r,t),Psi(r,t),
em que cada termo significa:
bul<=t i,hbar,partialPsi/partial t: evolu\c{c}~ao temporal da fun\c{c}~ao de onda;
bul<=t -,tfrachbar^22mnabla^2Psi: energia cin’etica qu^antica;
bul<=t V(r,t),Psi: energia potencial atuando na part’icula.

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