Explique por que a função é diferenciável no ponto P dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x \pi+3 y \pi), P=(-3,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\operatorname{sen}(2\pi x+3\pi y)
é diferenciável em P=(-3,2) e, em seguida, encontrar sua linearização nesse ponto.
Conteúdo: diferenciabilidade de composição de funções (função linear e função seno) e construção da linearização via derivadas parciais.

Passo 2

Para ver que f é diferenciável em P, note que g(x,y)=2\pi x+3\pi y é uma função linear (e portanto diferenciável em \mathbb{R}^2) e que h(u)=\operatorname{sen}(u) é diferenciável em \mathbb{R}. Como f = h\circ g, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável em todo ponto, em particular em P.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Seja
u=2\pi x+3\pi y,
então
f(x,y)=\operatorname{sen}(u).
A derivada de h(u)=\operatorname{sen}(u) é h'(u)=\cos(u). Assim,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\cos(2\pi x+3\pi y)\,\frac{\partial}{\partial x}(2\pi x+3\pi y) =\cos(2\pi x+3\pi y)\cdot2\pi,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\cos(2\pi x+3\pi y)\,\frac{\partial}{\partial y}(2\pi x+3\pi y) =\cos(2\pi x+3\pi y)\cdot3\pi.

Passo 4

Avaliamo em P=(-3,2). O argumento fica
2\pi(-3)+3\pi(2)=-6\pi+6\pi=0,
logo \,f(P)=\operatorname{sen}(0)=0.
As derivadas parciais em P são
\frac{\partial f}{\partial x}(P) =\cos(0)\cdot2\pi=2\pi, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(P) =\cos(0)\cdot3\pi=3\pi.
A linearização de f em P é
L(x,y)=f(P) +\frac{\partial f}{\partial x}(P)\,(x-(-3)) +\frac{\partial f}{\partial y}(P)\,(y-2).

Resposta

L(x,y)=0+2\pi\,(x+3)+3\pi\,(y-2) =2\pi\,x+3\pi\,y.

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