Explique por que a função é diferenciável no ponto
dado. A seguir, encontre a linearização da função no dado ponto:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, em seguida, encontrar sua linearização nesse ponto.
Conteúdo: diferenciabilidade de composição de funções (função linear e função seno) e construção da linearização via derivadas parciais.
Conteúdo: diferenciabilidade de composição de funções (função linear e função seno) e construção da linearização via derivadas parciais.
Passo 2
Para ver que
é diferenciável em
, note que
é uma função linear (e portanto diferenciável em
) e que
é diferenciável em
. Como
, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável em todo ponto, em particular em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
usando a regra da cadeia. Seja
então
A derivada de
é
. Assim,
Passo 4
Avaliamo em
. O argumento fica
logo
.
As derivadas parciais em são
As derivadas parciais em
A linearização de
em
é