Explique o funcionamento de um indutor quando ligado em corrente alternada, quanto ao atraso da corrente em relação a tensão.

Passo 1

O que o enunciado pede: você quer entender como um indutor se comporta quando ligado a uma fonte de corrente alternada, especificamente qual é o atraso (deslocamento de fase) entre a corrente e a tensão.
Dados e condições implícitas que vamos usar:
  • Temos um indutor ideal com indutância \,L (unidade henry).
  • A fonte é senoidal (regime permanente senoidal) com frequência \,f e pulsação \,\omega=2\pi f.
  • Vamos considerar tanto uma explicação qualitativa quanto uma demonstração matemática (com fórmulas e um exemplo numérico simples).

Passo 2

A relação fundamental do indutor: explicar a fórmula e as grandezas.
A equação que define o comportamento de um indutor é
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}.
Nessa fórmula:
  • \,v(t) é a tensão instantânea no indutor (volts).
  • \,i(t) é a corrente instantânea que passa pelo indutor (ampères).
  • \,L é a indutância (henry).
    Interpretação física simples e intuitiva: o indutor “resiste” a mudanças na corrente; quando a corrente tenta aumentar, aparece uma tensão que se opõe a essa mudança; quando a corrente diminui, a tensão inverte sinal para tentar manter a corrente. Isso vem do fato de \,v ser proporcional à derivada de \,i: a tensão é grande quando a corrente está mudando rápido e é zero quando a corrente está constante.

Passo 3

Resolver o caso senoidal por integração (modo direto, sem phasor).
Suponha que a tensão aplicada seja
v(t)=V_m\cos(\omega t),
com amplitude \,V_m. Substituindo em \,v(t)=L\,di/dt temos
\frac{di}{dt}=\frac{V_m}{L}\cos(\omega t).
Integramos em relação ao tempo para obter \,i(t):
i(t)=\int \frac{V_m}{L}\cos(\omega t)\,dt=\frac{V_m}{L}\cdot\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)+C.
No regime permanente senoidal escolhemos a solução de média zero (não há termo DC persistente), então C=0 e
i(t)=\frac{V_m}{\omega L}\sin(\omega t).
Agora escrevemos \sin como cosseno deslocado:
\sin(\omega t)=\cos\!\big(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\big),
portanto
i(t)=\frac{V_m}{\omega L}\cos\!\big(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\big).
Conclusão imediata: a corrente está atrasada em \,\tfrac{\pi}{2} radianos (ou 90^\circ) em relação à tensão aplicada, e a amplitude da corrente é
I_m=\frac{V_m}{\omega L}.

Passo 4

Interpretação da fórmula obtida e significado prático.
  • A expressão \,I_m=V_m/(\omega L) mostra que quanto maior a frequência \,\omega (ou maior a indutância \,L), menor será a amplitute da corrente: o indutor “opõe mais” a passagem de corrente em frequências altas.
  • Em \, \cos(\omega t-\tfrac{\pi}{2}) vemos diretamente o atraso de \,90^\circ: quando a tensão está no máximo positivo (coseno máximo), a corrente ainda está passando por zero e só atinge seu máximo um quarto de período depois.

Passo 5

Descrição via fasores e impedância (método que simplifica contas em provas).
No regime senoidal é comum usar fasores/complexos. A impedância do indutor é
Z=j\omega L,
onde j é a unidade imaginária. A lei de Ohm em fasores dá
\underline{V}=\underline{I}\,Z=\underline{I}\,j\omega L.
Isolando \underline{I}:
\underline{I}=\frac{\underline{V}}{j\omega L}=\frac{\underline{V}}{\omega L}\cdot\frac{1}{j}=\frac{\underline{V}}{\omega L}(-j).
Multiplicar por -j corresponde a um deslocamento de fase de -90^\circ (ou seja, a corrente em fasor fica -90^\circ em relação à tensão), confirmando que a corrente atrasa a tensão em 90^\circ. Esse método é rápido em provas: calcular Z, depois \underline{I}=\underline{V}/Z.

Passo 6

Energia e potência (por que a potência média é zero).
Energia armazenada no indutor em um instante é
W(t)=\tfrac{1}{2}L\,i^2(t).
Potência instantânea absorvida pelo indutor é
p(t)=v(t)\,i(t)=L\frac{di}{dt}i(t)=\frac{d}{dt}\!\Big(\tfrac{1}{2}L\,i^2(t)\Big)=\frac{dW}{dt}.
Isto mostra que o indutor apenas armazena e devolve energia ao circuito; no ciclo completo a energia média absorvida é zero (para um indutor ideal). Se usarmos v(t)=V_m\cos\omega t e i(t)=I_m\sin\omega t, então
p(t)=V_m I_m\cos\omega t\sin\omega t=\tfrac{V_m I_m}{2}\sin(2\omega t),
que tem média zero sobre um período.

Passo 7

Casos limites e observações práticas rápidas.
  • Em corrente contínua permanente ( \omega=0) a reatância \,X_L=\omega L é zero, portanto um indutor ideal se comporta como curto-circuito (não cria tensão para manter corrente constante). Observação: na prática há resistência e transientes.
  • Em frequência muito alta \,X_L=\omega L cresce muito e a corrente fica muito pequena (indutor age como bloqueador em altas frequências).
  • Indutores reais têm resistência série e perdas; por isso o atraso de fase real fica ligeiramente menor que 90^\circ e existe potência dissipada (aquecimento).

Passo 8

Resumo prático para a prova — receitas de solução rápida.
  • Se pedirem o desfasamento entre corrente e tensão: diga que, para indutor ideal, a corrente atrasa a tensão em \tfrac{\pi}{2} rad ( 90^\circ).
  • Para encontrar amplitudes use \,I_m=\dfrac{V_m}{\omega L} ou em RMS \,I_{\text{rms}}=\dfrac{V_{\text{rms}}}{\omega L}.
  • Se preferir método rápido: calcule Z=j\omega L e obtenha \underline{I}=\underline{V}/Z.
    Força-se a prática: num problema com números, calcule \omega=2\pi f, depois X_L=\omega L, depois I.

Resposta

A corrente em um indutor ideal em AC atrasa a tensão em \tfrac{\pi}{2} radianos ( 90^\circ).\nA amplitude da corrente é \;I_m=\dfrac{V_m}{\omega L}\; (ou \;I_{\text{rms}}=\dfrac{V_{\text{rms}}}{\omega L}\;), com \;\omega=2\pi f\; e reatância \;X_L=\omega L\;.\nA impedância é \;Z=j\omega L\;, a potência média elétrica absorvida por um indutor ideal é zero (energia é alternadamente armazenada e devolvida).

Exercícios relacionados