Mostre que em um circuito RC o módulo da impedância é:
|Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, para um circuito RC, o módulo da impedância é
|Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos um resistor de resistência R e um capacitor de capacitância C ligados em série alimentados por uma tensão senoidal de frequência angular \omega.
  • Queremos a magnitude (módulo) da impedância equivalente Z desse circuito série.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática leve): em regime estacionário senoidal nós representamos tensões e correntes por fasores (números complexos) para transformar equações diferenciais em álgebra. A impedância é a “resistência complexa” que relaciona fasor da tensão ao fasor da corrente:
\text{Se } \tilde{V} \text{ é o fasor da tensão e } \tilde{I} \text{ o fasor da corrente, então } \tilde{V}=Z\tilde{I}.éãã
Aqui Z pode ser complexo; seu módulo |Z| dá a relação amplitude tensão/amplitude corrente, e sua fase dá o desfasamento entre tensão e corrente.

Passo 3

Impedâncias dos elementos (fórmulas e significado):
  • Resistor: a impedância é puramente real e igual a sua resistência:
Z_R = R.
  • Capacitor: a impedância é puramente imaginária (reatância capacitiva) e vale
Z_C = \frac{1}{j\omega C},
onde j é a unidade imaginária em engenharia ( j^{2}=-1). Aqui \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f) e C é a capacitância. Essa fórmula vem da transformada da relação i(t)=C\,\mathrm{d}v(t)/\mathrm{d}t em regime senoidal.

Passo 4

Impedância total em série (regra): impedâncias em série somam como números complexos, porque as tensões somam. Logo a impedância total é
Z = Z_R + Z_C = R + \frac{1}{j\omega C}.

Passo 5

Algebra para colocar Z na forma padrão a+jb: note que \dfrac{1}{j}=-j (porque j\cdot(-j)=-j^{2}=1). Assim
\frac{1}{j\omega C} = -\,\frac{j}{\omega C}.
Portanto
Z = R - j\frac{1}{\omega C}.
Aqui identificamos a parte real a e a parte imaginária b:
a = R,\qquad b = -\frac{1}{\omega C}.
(é comum chamar X_{C}=-\dfrac{1}{\omega C} de reatância capacitiva; seu módulo é \dfrac{1}{\omega C}.)

Passo 6

Definição do módulo de um número complexo (e pequeno derivação): se Z=a+jb, o módulo é dado por
|Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Uma forma de ver isso é multiplicar Z pelo conjugado \overline{Z}=a-jb:
Z\overline{Z}=(a+jb)(a-jb)=a^{2}+b^{2},
logo |Z|=\sqrt{Z\overline{Z}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Isso é exatamente a distância no plano complexo entre a origem e o ponto (a,b).

Passo 7

Aplicando a fórmula do módulo ao nosso Z: substituímos a=R e b=-\dfrac{1}{\omega C}. Como b^{2}=\left(-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}=\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}, obtemos
|Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}.
Pronto — a expressão do enunciado aparece direto da combinação das impedâncias em série e da fórmula do módulo de um número complexo.

Resposta

|Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}

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