Explique por que a integral é imprópria e resolva a integral:
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{cotan} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique por que a integral é imprópria e que resolva
\int_{0}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \cotan \theta.
  • O intervalo de integração é [0,\pi/2].
  • Não há figura nem tabela; tudo está no texto.

Passo 2

Vamos entender o integrando \cotan \theta. Por definição,
\cotan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}.
Isso nos diz duas coisas úteis:
  • Em pontos onde \sin \theta=0 a função \cotan \theta fica mal definida (diverge).
  • No intervalo dado (0,\pi/2) temos \sin \theta>0, então \cotan \theta é positiva e bem definida para \theta\in(0,\pi/2).
    Agora observe os extremos do intervalo:
  • Em \theta=\pi/2 temos \sin(\pi/2)=1, então \cotan(\pi/2)=0 (sem problema).
  • Em \theta=0 temos \sin 0=0, então \cotan\theta tem singularidade (diverge) ao se aproximar de 0.
    Portanto a integral é imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no ponto final do intervalo ( \theta=0).

Passo 3

Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando há singularidade em um extremo, interpretamos a integral como limite de integrais próprias. Especificamente,
\int_{0}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta \stackrel{def}{=} \lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta,
se esse limite existir finito. Se esse limite for infinito ou não existir, dizemos que a integral diverge.

Passo 4

Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de \cotan \theta. Usamos a observação
\cotan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}.
Uma primitiva simples é \ln(\sin \theta), porque, pelo cálculo de derivada,
\frac{d}{d\theta}\big(\ln(\sin \theta)\big) = \frac{1}{\sin \theta}\cdot \cos \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cotan \theta.
Aqui eu usei a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u, com u=\sin\theta e u'=\cos\theta. Como \sin\theta>0 em (0,\pi), \ln(\sin\theta) é bem definida nesse intervalo.

Passo 5

Usando a primitiva, a integral própria entre \varepsilon e \pi/2 é
\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta = \big[\ln(\sin \theta)\big]_{\theta=\varepsilon}^{\theta=\pi/2} = \ln(\sin(\pi/2)) - \ln(\sin \varepsilon).
Calculando os termos conhecidos: \sin(\pi/2)=1 então \ln(\sin(\pi/2))=\ln 1=0. Assim
\int_{\varepsilon}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta = -\ln(\sin \varepsilon).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando \varepsilon\to 0^+:
\lim_{\varepsilon\to 0^+} \int_{\varepsilon}^{\pi/2} \cotan \theta \, d\theta = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \big(-\ln(\sin \varepsilon)\big).
Para estudar esse limite, usamos a aproximação para ângulos pequenos: \sin \varepsilon \sim \varepsilon quando \varepsilon\to 0^+. Logo
\ln(\sin \varepsilon) \sim \ln \varepsilon \quad(\varepsilon\to 0^+).
Como \ln \varepsilon \to -\infty quando \varepsilon\to 0^+, concluímos que \ln(\sin \varepsilon)\to -\infty. Portanto
-\ln(\sin \varepsilon) \to +\infty \quad(\varepsilon\to 0^+).

Passo 7

Como o limite da integral própria é +\infty, a integral imprópria não converge para um número finito. Em linguagem direta: a integral diverge (especificamente diverge para +\infty). Como verificação rápida de sentido: \cotan \theta>0 em (0,\pi/2), então a área acumulada perto de 0 é positiva e cresce sem limite, compatível com a divergência para +\infty.

Resposta

A integral é imprópria porque \cotan \theta tem singularidade em \theta=0. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cotan \theta\,d\theta diverge e seu valor é +\infty.

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