Explique por que a integral é imprópria e resolva a integral:
Passo 1
O enunciado pede que a gente explique por que a integral é imprópria e que resolva
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é .
- O intervalo de integração é
. - Não há figura nem tabela; tudo está no texto.
Passo 2
Vamos entender o integrando
. Por definição,
Isso nos diz duas coisas úteis:
- Em pontos onde
a função fica mal definida (diverge). - No intervalo dado
temos , então é positiva e bem definida para .
Agora observe os extremos do intervalo: - Em
temos , então (sem problema). - Em
temos , então tem singularidade (diverge) ao se aproximar de .
Portanto a integral é imprópria porque o integrando tem uma descontinuidade infinita no ponto final do intervalo ().
Passo 3
Definição prática de integral imprópria que vamos usar: quando há singularidade em um extremo, interpretamos a integral como limite de integrais próprias. Especificamente,
se esse limite existir finito. Se esse limite for infinito ou não existir, dizemos que a integral diverge.
Passo 4
Vamos achar uma primitiva (antiderivada) de
. Usamos a observação
Uma primitiva simples é
, porque, pelo cálculo de derivada,
Aqui eu usei a regra da cadeia: a derivada de
é
, com
e
. Como
em
,
é bem definida nesse intervalo.
Passo 5
Usando a primitiva, a integral própria entre
e
é
Calculando os termos conhecidos:
então
. Assim
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Para estudar esse limite, usamos a aproximação para ângulos pequenos:
quando
. Logo
Como
quando
, concluímos que
. Portanto
Passo 7
Como o limite da integral própria é
, a integral imprópria não converge para um número finito. Em linguagem direta: a integral diverge (especificamente diverge para
). Como verificação rápida de sentido:
em
, então a área acumulada perto de
é positiva e cresce sem limite, compatível com a divergência para
.
Resposta
A integral é imprópria porque
tem singularidade em
.
diverge e seu valor é
.