Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
\int_{0}^{4} \frac{d r}{4-r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou mostrar que diverge a integral
\int_{0}^{4}\frac{dr}{4-r}.
Informações relevantes dadas:
\text{intervalo: }[0,4],\qquad \text{integrando: }\frac{1}{4-r}.
Observação importante (somente identificando a informação): no ponto r=4 o denominador 4-r fica 0, então a integral toca uma singularidade no extremo do intervalo.

Passo 2

Quando o integrando tem singularidade no limite do intervalo (aqui em r=4) a integral é impropria e deve ser interpretada como limite. Escrevemos a definição que vamos usar:
\int_{0}^{4}\frac{dr}{4-r}=\lim_{b\to 4^-}\int_{0}^{b}\frac{dr}{4-r},
se, e somente se, esse limite existir e for finito. Ou seja, primeiro integramos até um ponto b<4 e depois analisamos o que acontece quando b se aproxima de 4 pela esquerda.

Passo 3

Vamos calcular uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{4-r}. Uma forma direta é perceber que a derivada de \ln|4-r| é
\frac{d}{dr}\ln|4-r|=\frac{1}{4-r}\cdot\frac{d}{dr}(4-r)=-\frac{1}{4-r}.
Daqui segue que uma primitiva de \dfrac{1}{4-r} é
-\ln|4-r|+C.
(Explicando: trocamos o sinal porque a derivada de 4-r é -1. Outra forma seria a substituição u=4-r.)

Passo 4

Usamos a primitiva para calcular a integral definida até b<4:
\int_{0}^{b}\frac{dr}{4-r}=\left[-\ln|4-r|\right]_{r=0}^{r=b}=-\ln|4-b|+ \ln|4-0|=-\ln(4-b)+\ln 4.
Agora tomamos o limite quando b\to 4^-. Quando b\to 4^- temos 4-b\to 0^+, e -\ln(4-b)\to +\infty. Portanto
\lim_{b\to 4^-}\left(-\ln(4-b)+\ln 4\right)=+\infty,
ou seja o limite não é finito.

Passo 5

Conclusão e interpretação: a integral imprópria cresce sem limite quando nos aproximamos de r=4; geometricamente, a área sob a curva \dfrac{1}{4-r} em [0,4) é infinita porque a função tem uma assíntota vertical em r=4. Logo a integral diverge (para +\infty).

Resposta

A integral diverge, isto é,
\int_{0}^{4}\frac{dr}{4-r}=+\infty.

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