Calcule o valor da integral ou mostre que ela é divergente:
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que diverge a integral
Informações relevantes dadas:
Observação importante (somente identificando a informação): no ponto
o denominador
fica
, então a integral toca uma singularidade no extremo do intervalo.
Passo 2
Quando o integrando tem singularidade no limite do intervalo (aqui em
) a integral é impropria e deve ser interpretada como limite. Escrevemos a definição que vamos usar:
se, e somente se, esse limite existir e for finito. Ou seja, primeiro integramos até um ponto
e depois analisamos o que acontece quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 3
Vamos calcular uma primitiva (antiderivada) de
. Uma forma direta é perceber que a derivada de
é
Daqui segue que uma primitiva de
é
(Explicando: trocamos o sinal porque a derivada de
é
. Outra forma seria a substituição
.)
Passo 4
Usamos a primitiva para calcular a integral definida até
:
Agora tomamos o limite quando
. Quando
temos
, e
. Portanto
ou seja o limite não é finito.
Passo 5
Conclusão e interpretação: a integral imprópria cresce sem limite quando nos aproximamos de
; geometricamente, a área sob a curva
em
é infinita porque a função tem uma assíntota vertical em
. Logo a integral diverge (para
).
Resposta
A integral diverge, isto é,