Explique a interferência que ocorre na luz refletida por uma fina camada de sabão envolva de ar. Qual a diferença de fase nesse caso caso a camada tenha um tamanho d.

Passo 1

O enunciado dá uma camada fina de sabão cercada por ar e pede duas coisas: explicar por que há interferência na luz refletida e indicar a diferença de fase entre os dois feixes refletidos quando a espessura da camada é d. Informações relevantes fornecidas: a camada tem espessura d, está rodeada por ar (índice aproximadamente 1) e é feita de um material com índice de refração que vou chamar de n. A pergunta espera: (a) explicação física da interferência entre os feixes refletidos; (b) expressão da diferença de fase em função de d e da \lambda (comprimento de onda no ar).

Passo 2

O que acontece fisicamente (visão geral, sem contas ainda). Quando um feixe de luz incide na camada de sabão, parte da luz é refletida na face superior (ar → sabão) e parte entra no sabão, percorre a camada, é refletida na face inferior (sabão → ar) e volta para fora. Essas duas ondas refletidas chegam ao observador com uma diferença de fase: uma diferença por causa do caminho extra que a segunda onda percorre dentro do sabão e outra possível diferença de fase por reflexões nas superfícies. Essa diferença de fase entre as duas ondas determina se elas interferem construtiva ou destrutivamente.

Passo 3

Regra simples sobre mudança de fase ao refletir: quando uma onda é refletida numa interface onde o meio de transmissão tem índice de refração maior do que o meio de incidência, a onda refletida ganha uma mudança de fase de \pi (ou metade de comprimento de onda). Se a reflexão ocorre de um meio mais denso para um menos denso, não há mudança de fase (ou seja, mudança de fase 0). Vou aplicar isso ao caso aqui:
\text{superfície superior (ar \(\to\) sabão): ar com \(n_0\approx1\) para sabão com \(n>1\) } \Rightarrow \text{reflexão com fase } \pi.íããã
\text{superfície inferior (sabão \(\to\) ar): meio mais denso para menos denso } \Rightarrow \text{reflexão sem mudança de fase }0.íããç

Passo 4

Qual é a contribuição da viagem dentro da camada para a fase? O comprimento de onda da luz no ar (ou vácuo) é \lambda. No interior do sabão a onda tem comprimento de onda reduzido \lambda_{\text{film}}=\dfrac{\lambda}{n}. Ao atravessar a camada de espessura d e voltar, a luz percorre distância óptica total 2d no meio com índice n, então a diferença de caminho físico corresponde a uma diferença de fase igual a
\delta_{\text{prop}} = \frac{2\pi}{\lambda_{\text{film}}}\cdot 2d = \frac{2\pi}{\lambda/n}\cdot 2d = \frac{4\pi n d}{\lambda}.
Explicando essa fórmula: a fase por unidade de comprimento dentro do filme é 2\pi/\lambda_{\text{film}} = 2\pi n/\lambda. Multiplicando por 2d (ida e volta) obtém-se \delta_{\text{prop}}.

Passo 5

Agora juntamos as duas contribuições de fase: a fase adicional por propagação \delta_{\text{prop}} e a mudança de fase por reflexões. Como vimos, apenas a reflexão na face superior dá uma mudança de \pi; a reflexão na face inferior não dá mudança. Portanto a diferença de fase total entre o feixe refletido pela face superior (chamo de feixe 1) e o feixe refletido pela face inferior depois de atravessar e voltar (feixe 2) é
\Delta\varphi = \delta_{\text{prop}} + \delta_{\text{refl}} = \frac{4\pi n d}{\lambda} + \pi.
Interpretação: o primeiro termo vem do caminho extra percorrido dentro do filme; o segundo termo é a inversão de fase de \pi sofrida só por um dos feixes na reflexão.

Passo 6

Condições de interferência (como usar essa diferença de fase na prova). Para duas ondas de amplitudes comparáveis, a interferência será:
  • construtiva (máximo refletido) quando a diferença de fase total for um múltiplo par de \pi inteiro, ou seja
\Delta\varphi = 2m\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
Substituindo a expressão de \Delta\varphi obtemos
\frac{4\pi n d}{\lambda} + \pi = 2m\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n d}{\lambda} + 1 = 2m,
logo
\boxed{\,2 n d =\left(m-\tfrac{1}{2}\right)\lambda\\ \text{ (condição de máximo de reflexão)}\,}.çãáã
Uma forma prática: o menor espessamento que dá máximo é para m=1, dando 2nd=\tfrac{1}{2}\lambda ou d=\tfrac{\lambda}{4n}.

Passo 7

Da mesma forma, a interferência é destrutiva (mínimo refletido) quando a diferença de fase total é um múltiplo ímpar de \pi, isto é
\Delta\varphi = (2m+1)\pi,\quad m\in\mathbb{Z}.
Substituindo:
\frac{4\pi n d}{\lambda} + \pi = (2m+1)\pi \quad\Rightarrow\quad \frac{4 n d}{\lambda} = 2m,
logo
\boxed{\,2 n d = m\lambda\\ \text{ (condição de mínimo de reflexão)}\,}.çãíã
Exemplo prático: para m=1 temos mínimo quando d=\tfrac{\lambda}{2n}.

Passo 8

Resumo físico e dica de prova (como lembrar rápido na hora). Resumindo, as duas causas da diferença de fase são: (i) a viagem extra dentro do filme que dá \dfrac{4\pi n d}{\lambda}; (ii) a inversão de fase de \pi que ocorre apenas na reflexão na face superior (ar → sabão). A soma dá
\Delta\varphi = \frac{4\pi n d}{\lambda} + \pi.
Dica mnemônica: checar sempre quantas inversões de fase ocorrem (0, 1 ou 2) e somar ao termo de caminho óptico 4\pi n d/\lambda; depois impor \Delta\varphi=2m\pi para máximos ou \Delta\varphi=(2m+1)\pi para mínimos.

Resposta

\displaystyle \Delta\varphi = \frac{4\pi n d}{\lambda} + \pi.
Condição de máximo de reflexão: \displaystyle 2nd=\left(m-\tfrac12\right)\lambda.
Condição de mínimo de reflexão: \displaystyle 2nd=m\lambda.

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