Qual a relação entre a diferença de fase e do caminho ótico? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre a diferença de fase e a diferença do caminho óptico, e pede que isso seja explicado.
Informações relevantes que temos para resolver isso (implícitas no enunciado):
  • Estamos considerando ondas monocromáticas que se propagam por trajetórias possivelmente diferentes.
  • Existe um índice de refração n nos meios por onde as ondas viajam (pode ser função do ponto).
  • Precisamos relacionar a variação de fase entre as duas ondas com a diferença de caminho óptico percorrido por elas.

Passo 2

Definição e significado de caminho óptico (OPL).
O caminho óptico para uma trajetória C é a integral do índice de refração ao longo do trajeto. Em notação,
\text{OPL}=\int_C n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é um elemento de comprimento ao longo da trajetória e n(\mathbf{r}) é o índice de refração no ponto \mathbf{r}.
Explicando: o caminho óptico mede “quantas vezes” a onda sente o meio em termos de fase — um trecho em meio mais denso (maior n) equivale a um trecho maior em ar (menor n) do ponto de vista de fase acumulada. Para um meio homogêneo com n constante e comprimento geométrico s,
\text{OPL}=n\,s.

Passo 3

Definição de fase de uma onda harmônica e do número de onda.
Uma onda harmônica propagando-se numa direção pode ser escrita (numa forma simplificada) como
\Psi(s,t)=A\cos\bigl(k\,s-\omega t+\phi_0\bigr),
onde:
  • A é a amplitude;
  • k é o número de onda;
  • \omega é a frequência angular;
  • \phi_0 é uma fase inicial.
    O número de onda k relaciona-se com o comprimento de onda no meio \lambda_{\text{meio}} por
k=\frac{2\pi}{\lambda_{\text{meio}}}.
Além disso, a relação entre o comprimento de onda no vácuo \lambda_0 e no meio com índice n é
\lambda_{\text{meio}}=\frac{\lambda_0}{n}.
Substituindo, obtemos
k=\frac{2\pi n}{\lambda_0}.

Passo 4

Fórmula da fase acumulada ao percorrer um caminho.
Se uma onda viaja por uma distância s num meio com índice n (ou mais generally ao longo de um caminho com OPL), a fase eleva-se em
\phi_{\text{acumulada}}=k\,s=\frac{2\pi}{\lambda_{\text{meio}}}\,s=\frac{2\pi n}{\lambda_0}\,s.
Se usarmos a definição integral do caminho óptico, a fase acumulada ao longo de uma trajetória C pode ser escrita como
\phi_{\text{acumulada}}=\frac{2\pi}{\lambda_0}\int_C n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\text{OPL}.
Aqui é importante: a fase acumulada está diretamente proporcional ao caminho óptico.

Passo 5

Diferença de fase entre duas trajetórias (derivação da relação pedida).
Considere duas trajetórias C_1 e C_2 com caminhos ópticos \text{OPL}_1 e \text{OPL}_2. As fases acumuladas são
\phi_1=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\text{OPL}_1+\phi_{0,1},\qquad \phi_2=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\text{OPL}_2+\phi_{0,2},
onde \phi_{0,1} e \phi_{0,2} são fases iniciais (podem incluir saltos de fase por reflexão). A diferença de fase é
\Delta\varphi=\phi_1-\phi_2=\frac{2\pi}{\lambda_0}\bigl(\text{OPL}_1-\text{OPL}_2\bigr)+(\phi_{0,1}-\phi_{0,2}).
Se não houver diferenças adicionais de fase iniciais (ou se as incorporarmos separadamente), a relação principal entre diferença de fase e diferença do caminho óptico (que é \Delta\text{OPL}=\text{OPL}_1-\text{OPL}_2) é
\boxed{\displaystyle \Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\Delta\text{OPL}.}
Equivalente, se as duas ondas percorrem o mesmo meio homogêneo de índice n e têm comprimentos geométricos s_1 e s_2,
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_{\text{meio}}}\,(s_1-s_2).
Essas formas são coerentes porque \lambda_{\text{meio}}=\lambda_0/n e \Delta\text{OPL}=n(s_1-s_2).

Passo 6

Interpretação física e condições de interferência (como usar isso na prova).
  • A relação diz que cada vez que a diferença de caminho óptico aumenta em uma unidade de \lambda_0 (ou seja, \Delta\text{OPL}=\lambda_0), a diferença de fase aumenta em 2\pi — ou seja, passa por um ciclo inteiro.
  • Condições típicas: \text{construtiva:}\quad \Delta\varphi=2\pi m \quad\Longrightarrow\quad \Delta\text{OPL}=m\,\lambda_0,
\text{destrutiva:}\quad \Delta\varphi=(2m+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta\text{OPL}=\left(m+\tfrac12\right)\lambda_0,
onde m é inteiro. Use \lambda_0 (comprimento de onda no vácuo) quando \Delta\text{OPL} já incorpora o índice n; use \lambda_{\text{meio}} se trabalhar apenas com diferenças geométricas em um mesmo meio homogêneo.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (passo a passo para praticar).
Suponha luz com \lambda_0=600\\ \text{nm} no vácuo, duas trajetórias em ar ( n\approx1) com diferença geométrica \Delta s=150\\ \text{nm}. Então \Delta\text{OPL}\approx n\Delta s=150\\ \text{nm}. A diferença de fase é
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\Delta\text{OPL}=\frac{2\pi}{600\\ \text{nm}}\times 150\\ \text{nm}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Logo as ondas estão defasadas em \pi/2 radianos (quadratura).

Passo 8

Observações práticas e dicas para prova (para você aplicar sem pânico).
  • Sempre calcule \Delta\text{OPL} primeiro, lembrando de somar efeitos do índice n e incluir saltos de fase por reflexão (um salto de \pi equivale a \Delta\text{OPL}=\tfrac{\lambda_0}{2}).
  • Use \Delta\varphi=(2\pi/\lambda_0)\,\Delta\text{OPL} como fórmula fundamental; transforme para outras formas só se for mais conveniente (por exemplo \Delta\varphi=(2\pi/\lambda_{\text{meio}})\Delta s quando estiver num único meio homogêneo).
  • Se sentir dúvida com índices variando, calcule a integral \int n\,\mathrm{d}s explicitamente.

Resposta

\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda_0}\,\Delta\text{OPL},
onde \Delta\text{OPL}=\displaystyle\int_{C_1}n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s-\int_{C_2}n(\mathbf{r})\,\mathrm{d}s.

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