O enunciado pede para entendermos de onde vem o chamado erro de interpolação quando aproximamos uma função suave por um polinômio de grau que coincide com em pontos distintos . O que vamos usar: a construção do polinômio de interpolação (por exemplo forma de Lagrange) e um argumento baseado no Teorema de Rolle para obter o termo que sobra, isto é, o resto ou erro.
Passo 2
Definimos a função de erro
Pela construção de sabemos que para cada nó . Logo, tem pelo menos raízes .
Passo 3
Considere também o polinômio
que tem exatamente essas mesmas raízes. Como e têm as mesmas raízes, existe um escalar tal que
tem pelo menos raízes (as originais mais, por escolha de , um ponto extra de nossa preferência). Aplicando o Teorema de Rolle repetidamente, concluímos que a derivada de ordem dessa diferença anula em algum ponto dentro do intervalo de interpolação.
Passo 4
Ao derivar vezes e notar que , obtemos
Mas pois some ao derivar vezes. Então
e finalmente
Passo 5
Em termos práticos, o erro de interpolação surge exatamente porque o polinômio de grau “pára” na ordem : o que falta é o próximo termo da expansão de Taylor generalizada, controlado pela derivada -ésima. Para estimar o tamanho desse erro basta usar
Resposta
f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi),
com xi em algum ponto do intervalo de interpolação.