Explique como se origina o erro de interpolação.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos de onde vem o chamado erro de interpolação quando aproximamos uma função suave f por um polinômio Pn de grau n que coincide com f em n+1 pontos distintos x0,x1,dots,xn. O que vamos usar: a construção do polinômio de interpolação (por exemplo forma de Lagrange) e um argumento baseado no Teorema de Rolle para obter o termo que sobra, isto é, o resto ou erro.

Passo 2

Definimos a função de erro
E(t)=f(t)-Pn(t)
Pela construção de Pn sabemos que E(xi)=0 para cada nó xi. Logo, E(t) tem pelo menos n+1 raízes x0,dots,xn.

Passo 3

Considere também o polinômio
omega(t)=prodi=0^n(t-xi),
que tem exatamente essas mesmas raízes. Como E(t) e omega(t) têm as mesmas raízes, existe um escalar K tal que
E(t)-K,omega(t)
tem pelo menos n+2 raízes (as n+1 originais mais, por escolha de K, um ponto extra t=x de nossa preferência). Aplicando o Teorema de Rolle repetidamente, concluímos que a derivada de ordem n+1 dessa diferença anula em algum ponto xi dentro do intervalo de interpolação.

Passo 4

Ao derivar n+1 vezes e notar que omega^(n+1)(t)=(n+1)!, obtemos
E(x)=f(x)-Pn(x) = K,omega(x) e E^(n+1)(xi)=K,(n+1)!
Mas E^(n+1)(t)=f^(n+1)(t) pois Pn some ao derivar n+1 vezes. Então
K=f^(n+1)(xi)(n+1)!
e finalmente
boxed,f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi),

Passo 5

Em termos práticos, o erro de interpolação surge exatamente porque o polinômio de grau n “pára” na ordem n: o que falta é o próximo termo da expansão de Taylor generalizada, controlado pela derivada (n+1)-ésima. Para estimar o tamanho desse erro basta usar
l|f(x)-Pn(x)r| <= maxtin[a,b]|f^(n+1)(t)|(n+1)!,l|prodi=0^n(x-xi)r|

Resposta

f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,prodi=0^n(x-xi),
com xi em algum ponto do intervalo de interpolação.

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