Explique, com suas palavras, os significados e consequências de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede:
- explicar com palavras o significado e as consequências dessa igualdade;
- escrever o significado matemático preciso da expressão (a definição formal);
- dar um exemplo de função que satisfaça essa condição.
Aqui
é um ponto na reta real onde estamos a considerar o limite vindo pela esquerda (valores de
menores que
). A expressão afirma que, ao aproximarmos
de
por valores menores que
, os valores
se aproximam do número
(onde
é um parâmetro/constante fixa — pode ser um número real, ou, em contexto de engenharia, a unidade imaginária; a discussão a seguir vale em ambos os casos, mudando apenas a métrica para o caso complexo).
Passo 2
Intuição e interpretação em palavras (passo a passo, sem formalismos):
- Dizer que
significa que, se eu pego cada vez mais próximo de vindo pela esquerda (por exemplo …), então fica cada vez mais perto do valor . - Isso é só sobre aproximação por valores menores que
. Nada é afirmado sobre o que acontece quando se aproxima de pela direita, nem sobre qual é o valor (se estiver definido). - Consequências imediatas:
- A existência desse limite lateral significa que os valores de
à esquerda de são controlados: não “disparam” nem oscilam sem se aproximar de . - Não implica necessariamente que
exista ou seja igual a . - Para que
(o limite bilateral) exista e seja igual a é preciso que tanto a esquerda quanto a direita tenham o mesmo limite . - Para que
seja contínua em é preciso que .
- A existência desse limite lateral significa que os valores de
Passo 3
Significado matemático preciso (definição epsilon–delta para limite pela esquerda).
A igualdade
significa formalmente que
Vou explicar cada parte dessa definição:
-
é um número pequeno qualquer que representa “quão perto” queremos que esteja de . - Dizer “
” significa que podemos encontrar um intervalo à esquerda de , mais precisamente o intervalo , tal que para qualquer nesse intervalo (exceto o próprio , por isso a condição ), a distância entre e é menor que . - A desigualdade
mede essa proximidade; aqui pode ser o valor absoluto usual se for real, ou o módulo se for complexo.
Observação alternativa (caracterização por sequências):
é equivalente a: para toda sequência
com
para todo
e
, vale
.
Passo 4
Exemplos concretos (mostrando casos diferentes e como verificar):
Exemplo 1 — função constante à esquerda (limite lateral existe e é
Verificação rápida: para qualquer
. Se
então
e
, logo
. Assim
. Note que
e
, então a função não é contínua em
.
Exemplo 2 — função contínua com mesmo valor (caso simples e elegante):
Aqui a função é constante em toda a reta, então
(e também
e
, é contínua).
Exemplo 3 — aproximação linear pela esquerda (limite pela esquerda
, valor à direita diferente ou igual conforme escolha):
Verificação: se
então
, logo
. Formalmente, dado
escolha
; para
temos
. Assim
.
Exemplo numérico ilustrativo (pega valores concretos): se escolher
e
então a condição é
; a função do Exemplo 1 com esses parâmetros dá um caso explícito fácil de visualizar.]
Passo 5
Relações úteis a lembrar para a prova (dicas práticas, como amigo encorajando)
- Para testar
na prova, duas estratégias comuns: - Usar a definição epsilon–delta diretamente quando
tem forma simples (constante, linear, etc.). - Usar sequências: mostrar que para qualquer sequência
e temos .
- Usar a definição epsilon–delta diretamente quando
- Lembre: a existência da limite pela esquerda não garante nada sobre a direita nem sobre
. Então na prova, se perguntarem sobre limite bilateral ou continuidade, verifique ambos os lados e compare com . - Se precisar construir um exemplo (por exemplo numa questão dissertativa), fazer
para e escolher qualquer definição para é a maneira mais direta de garantir a condição pedida.
Resposta
]