Explique como podemos calcular o número de iterações necessárias para a convergência do método da Bissecção.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como calcular o número de iterações necessárias para que o método da Bissecção atinja uma precisão desejada. \n
Informações dadas (que usamos como dados de entrada para o cálculo): \n
O intervalo inicial onde procuramos a raiz é [\,a,b\,] (assumimos que \,a<b\, e que há uma raiz dentro do intervalo, isto é, f é contínua e f(a)f(b)<0). \n
Um critério de precisão desejado, que pode ser expresso de duas formas comuns: \n
tolerância para o comprimento do intervalo final, denotada por \delta (queremos o intervalo de incerteza com comprimento \le \delta); \n
tolerância para o erro absoluto da aproximação pelo ponto médio, denotada por \epsilon (queremos que a aproximação por ponto médio esteja a uma distância \le \epsilon da raiz). \n
Essa é toda a informação necessária para deduzir a fórmula do número de iterações.
Passo 2
Entendendo o efeito de uma iteração de bissecção (intuição e propriedade básica). \n
Quando aplicamos uma iteração da bissecção, dividimos o intervalo atual ao meio e mantemos a metade que contém a raiz. Isso quer dizer que, a cada iteração, o comprimento do intervalo de busca é metade do comprimento anterior. Se chamarmos de L_0 o comprimento inicial do intervalo, temos \n
L_0 = b-a.
Depois de uma iteração o novo comprimento é L_1 = \dfrac{b-a}{2}. Depois de duas iterações L_2 = \dfrac{b-a}{2^2}. Por indução (mesma ideia repetida) obtemos a fórmula geral para o comprimento depois de n iterações:
L_n = \dfrac{b-a}{2^n}.
Explicação rápida por que a indução funciona: cada iteração divide por 2, logo multiplicamos L_0 por \frac{1}{2}n vezes, resultando em \frac{b-a}{2^n}.
Passo 3
Ligando comprimento do intervalo ao erro da aproximação por ponto médio. \n
Em bissecção tipicamente usamos como aproximação da raiz o ponto médio do intervalo atual; seja c_n o ponto médio após n iterações. O ponto médio está no centro do intervalo de comprimento L_n, portanto a distância máxima entre c_n e a raiz (erro absoluto máximo) é metade do comprimento do intervalo. Assim:
\text{erro máximo após }n\text{ iterações} \le \frac{L_n}{2} = \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Essa desigualdade é importante porque é a que vincula número de iterações com \epsilon.
Passo 4
Derivando o número de iterações quando o critério é comprimento do intervalo (\delta). \n
Se quisermos que o comprimento final seja \le \delta, exigimos
L_n = \frac{b-a}{2^n} \le \delta.
Isso é equivalente a
2^n \ge \frac{b-a}{\delta}.
Tomando logaritmo na base 2 dos dois lados (ou usando log natural depois) obtemos
n \ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{\delta}\right).
Como n tem que ser um número inteiro de iterações, a menor n que garante a desigualdade é
n = \left\lceil \log_2\!\left(\frac{b-a}{\delta}\right) \right\rceil.
Obs.: se o argumento do logaritmo \frac{b-a}{\delta}\le 1, então \log_2(\cdot)\le 0 e n=0 (já atende sem iterar).
Passo 5
Derivando o número de iterações quando o critério é erro absoluto do ponto médio (\epsilon). \n
Se quisermos que o erro da aproximação por c_n seja \le \epsilon, exigimos
n \ge \log_2\!\left(\frac{b-a}{\epsilon}\right) - 1 = \log_2\!\left(\frac{b-a}{2\epsilon}\right).
Como n precisa ser inteiro:
n = \left\lceil \log_2\!\left(\frac{b-a}{2\epsilon}\right) \right\rceil.
Novamente, se o argumento \frac{b-a}{2\epsilon}\le 1 então n=0 (o ponto médio inicial já atinge a precisão).
Passo 6
Como calcular na prática (trocar log base 2 por log natural ou decimal) e observar a função teto. \n
Computadores e calculadoras normalmente têm logaritmo natural \ln ou log base 10. Use a identidade
\log_2(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(2)}.
Portanto, para calcular
n = \left\lceil \log_2\!\left(\frac{b-a}{2\epsilon}\right) \right\rceil
faça
n = \left\lceil \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{b-a}{2\epsilon}\right)}{\ln 2} \right\rceil.
Lembre-se de que \lceil \cdot \rceil é a função teto: arredonda para o menor inteiro maior ou igual ao valor. Sempre garanta n\ge 0.
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (para fixar). \n
Suponha [\,a,b\,]=[1,2] e queremos erro absoluto \epsilon = 10^{-5} usando o ponto médio como aproximação. Então (b-a)=1 e