Resolva o Sistema Linear pelo método de eliminação de Gauss
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\[4pt] 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=3, \end{cases}
e pede resolver pelo método de eliminação de Gauss, ou seja, encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem as três equações simultaneamente.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: }3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\\ &\text{Equação 2: }x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\\ &\text{Equação 3: }4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=3. \end{aligned}çãçãçã]

Passo 2

Vamos escrever o sistema como matriz aumentada — é a forma mais prática para aplicar operações de linha. A matriz aumentada é a matriz dos coeficientes com uma coluna extra dos termos constantes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 3 \end{array}\right].
Breve explicação (didática): as operações de linha permitidas são:
  1. trocar duas linhas; 2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; 3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Escolha do pivô na coluna 1: como a segunda linha já tem coeficiente 1 em x_{1}, é conveniente trocar a linha 1 com a linha 2 para evitar frações desnecessárias. Aplicamos a operação R_{1} \leftrightarrow R_{2}. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 3 \end{array}\right].
Explicando: agora o pivô (elemento que usamos para eliminar abaixo) na primeira coluna é 1, isso facilita os cálculos.]

Passo 4

Eliminação na coluna 1: zerar as entradas abaixo do pivô 1 na primeira coluna.
  • Para zerar o elemento 3 da linha 2 fazemos R_{2} \leftarrow R_{2} - 3R_{1}.
    Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} &3 - 3\cdot 1 = 0,\\\ &2 - 3\cdot 1 = -1,\\\ &4 - 3\cdot 2 = 4 - 6 = -2,\\\ &1 - 3\cdot 2 = 1 - 6 = -5. \end{aligned}
  • Para zerar o elemento 4 da linha 3 fazemos R_{3} \leftarrow R_{3} - 4R_{1}.
    Calculemos:
\begin{aligned} &4 - 4\cdot 1 = 0,\\\ &3 - 4\cdot 1 = -1,\\\ &2 - 4\cdot 2 = 2 - 8 = -6,\\\ &3 - 4\cdot 2 = 3 - 8 = -5. \end{aligned}
A matriz após essas operações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -5\\[4pt] 0 & -1 & -6 & -5 \end{array}\right].]

Passo 5

Normalizar o pivô da segunda linha: é conveniente ter 1 como pivô. Multiplicamos a linha 2 por -1: R_{2} \leftarrow -1\cdot R_{2}. Isso dá:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 5\\[4pt] 0 & -1 & -6 & -5 \end{array}\right].
Explicação: ter pivôs iguais a 1 torna mais direto eliminar outras entradas e facilita a interpretação das equações.]

Passo 6

Eliminação na coluna 2: zerar a entrada abaixo do pivô 1 (na linha 3). Como a linha 3 tem -1 na coluna 2, fazemos R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{2}.
Calculemos termo a termo:
\begin{aligned} &0 + 0 = 0,\\\ &-1 + 1 = 0,\\\ &-6 + 2 = -4,\\\ &-5 + 5 = 0. \end{aligned}
A matriz triangular resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right].
Agora temos uma matriz triangular superior — prontos para resolver por retro-substituição.]

Passo 7

Resolver a última equação (linha 3) para x_{3}. A linha 3 representa a equação
-4x_{3}=0.
Portanto
x_{3}=0.
Explicação: quando a matriz está triangular, começamos da última equação que contém apenas uma incógnita e vamos subindo.

Passo 8

Retro-substituição para encontrar x_{2} e x_{1}.
  • Linha 2 representa
x_{2}+2x_{3}=5.
Substituindo x_{3}=0 obtemos
x_{2}+2\cdot 0=5\quad\Rightarrow\quad x_{2}=5.
  • Linha 1 representa
x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2.
Substituindo x_{2}=5 e x_{3}=0 obtemos
x_{1}+5+2\cdot 0=2\quad\Rightarrow\quad x_{1}=2-5=-3.

Passo 9

Verificação rápida (substituir na primeira equação original):
3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=3(-3)+2(5)+4(0)=-9+10+0=1,
que coincide com o lado direito 1. Você pode verificar as outras duas equações da mesma forma; elas também dão certo. Mandou bem — solução consistente!

Resposta

x_{1}=-3
x_{2}=5
x_{3}=0

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