Explique o porquê da diferença entre os índices de direções no sistema cúbico [ u v w ] e no hexagonal [ u v t
.
Passo 1
O enunciado pede para entender por que, em cristais cúbicos, as direções são indexadas por três coeficientes
, enquanto em cristais hexagonais usa-se o esquema de quatro índices
. O conteúdo aqui é a notação de direções cristalográficas (índices de Miller–Bravais) e vamos precisar usar a geometria dos sistemas de bases vetoriais de cada rede.
Passo 2
No sistema cúbico temos três eixos ortogonais
,
,
de mesmo comprimento. Qualquer direção
no cristal se escreve como combinação linear
onde os inteiros
definem unicamente essa direção; por isso usamos três índices em
.
Passo 3
No sistema hexagonal, porém, a célula primitiva tem quatro vetores de base: três no plano basal separados por
(
) e um eixo
perpendicular a esse plano. Geometricamente as três direções em
são equivalentes, mas não conseguimos capturar essa equivalência se usarmos apenas dois índices na base basal (seriam necessários três para cobrir todos os eixos a-basais).
Passo 4
Para manter a simetria de
entre
usa-se a notação de Miller–Bravais de quatro índices
, escrevendo
Como
, há redundância e impomos a condição
de modo que só três desses índices são independentes, mas a notação com quatro mantém clara a equivalência entre os três eixos no plano basal.
Passo 5
Em outras palavras, o índice
não traz grau de liberdade novo (ele vale
), mas faz com que rotações de
no plano basal troquem ciclicamente
sem mudar a notação. A direção espacial fica então simetricamente representada por quatro componentes, em vez de quebrar a equivalência usando apenas dois eixos basais.
Passo 6
Portanto, a diferença de índices surge porque no cúbico os três eixos são mutuamente ortogonais e independentes, bastando três coeficientes, enquanto no hexagonal há três eixos equivalentes no plano basal mais o eixo
, exigindo uma notação de quatro índices (com a condição
) para preservar a simetria de
.
Resposta
Em hexagonal precisamos de quatro índices
porque há três eixos equivalentes separados por
no plano basal (
) mais o eixo
, e a notação de Miller–Bravais com a condição
preserva essa equivalência; no sistema cúbico os três eixos são ortogonais e independentes, bastando a notação
.