Explique o porquê da diferença entre os índices de direções no sistema cúbico [ u v w ] e no hexagonal [ u v t w].

Passo 1

O enunciado pede para entender por que, em cristais cúbicos, as direções são indexadas por três coeficientes [u,v,w], enquanto em cristais hexagonais usa-se o esquema de quatro índices [u,v,t,w]. O conteúdo aqui é a notação de direções cristalográficas (índices de Miller–Bravais) e vamos precisar usar a geometria dos sistemas de bases vetoriais de cada rede.

Passo 2

No sistema cúbico temos três eixos ortogonais a1, a2, a3 de mesmo comprimento. Qualquer direção r no cristal se escreve como combinação linear
r=u,a1 + v,a2 + w,a3,
onde os inteiros u,v,w definem unicamente essa direção; por isso usamos três índices em [u,v,w].

Passo 3

No sistema hexagonal, porém, a célula primitiva tem quatro vetores de base: três no plano basal separados por 120^circ ( a1,a2,a3) e um eixo c perpendicular a esse plano. Geometricamente as três direções em 120^circ são equivalentes, mas não conseguimos capturar essa equivalência se usarmos apenas dois índices na base basal (seriam necessários três para cobrir todos os eixos a-basais).

Passo 4

Para manter a simetria de 120^circ entre a1,a2,a3 usa-se a notação de Miller–Bravais de quatro índices [u,v,t,w], escrevendo
r=u,a1 + v,a2 + t,a3 + w,c
Como a1+a2+a3=0, há redundância e impomos a condição
u + v + t = 0,
de modo que só três desses índices são independentes, mas a notação com quatro mantém clara a equivalência entre os três eixos no plano basal.

Passo 5

Em outras palavras, o índice t não traz grau de liberdade novo (ele vale t=-(u+v)), mas faz com que rotações de 120^circ no plano basal troquem ciclicamente (u,v,t) sem mudar a notação. A direção espacial fica então simetricamente representada por quatro componentes, em vez de quebrar a equivalência usando apenas dois eixos basais.

Passo 6

Portanto, a diferença de índices surge porque no cúbico os três eixos são mutuamente ortogonais e independentes, bastando três coeficientes, enquanto no hexagonal há três eixos equivalentes no plano basal mais o eixo c, exigindo uma notação de quatro índices (com a condição u+v+t=0) para preservar a simetria de 120^circ.

Resposta

Em hexagonal precisamos de quatro índices [u,v,t,w] porque há três eixos equivalentes separados por 120^circ no plano basal ( a1,a2,a3) mais o eixo c, e a notação de Miller–Bravais com a condição u+v+t=0 preserva essa equivalência; no sistema cúbico os três eixos são ortogonais e independentes, bastando a notação [u,v,w].

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