Explique por que a razão c/a ideal para a estrutura HC é 1,633 e como valores diferentes afetam o fator de empacotamento.

Passo 1

O que o problema pede: explicar por que a razão \,c/a\, ideal para a estrutura hexagonal compacta (HC, também chamada HCP) vale \,1,633 e como variar \,c/a\, afeta o fator de empacotamento (ou eficiência de empacotamento).
Informações relevantes dadas/assumidas (e que vamos usar):
  • Estamos tratando de esferas idênticas (átomos aproximados por esferas rígidas) empacotadas na estrutura HCP.
  • No plano basal (plano hexagonal) as esferas tocam as vizinhas; isso define a como a distância entre centros de vizinhos no plano basal. Para esferas em contato no plano, a=2R, onde R é o raio da esfera.
  • O parâmetro c é a altura da célula hexagonal convencional (distância entre planos equivalentes A e A).
  • Queremos a razão \,c/a\, que faz com que esferas também toquem entre camadas (isto é, maximiza o empacotamento mantendo contatos determinados pela geometria de tetraedros formados entre camadas).

Passo 2

Entender a geometria que determina \,c/a\,: o arranjo entre camadas forma tetraedros regulares entre três esferas do plano basal e uma esfera da camada imediatamente acima (ou abaixo). Vamos desenhar mentalmente/geométricamente esse tetraedro:
  • No plano basal temos um triângulo equilátero cujos vértices são os centros de três esferas vizinhas; o lado desse triângulo é \,a=2R\,.
  • O centro (baricentro) desse triângulo está diretamente abaixo (ou acima) do centro da esfera da camada adjacente que “assenta” no vão entre as três do plano basal.
  • A distância do baricentro do triângulo até um vértice (distância horizontal do centro do triângulo até o centro de uma esfera do triângulo) é, para um triângulo equilátero de lado a,
d=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Explicação: para triângulo equilátero altura = \frac{\sqrt{3}}{2}a; o baricentro divide a altura numa razão 2:1, daí a distância vértice–baricentro é a/\sqrt{3}.
Agora, a esfera acima tem de tocar cada uma das três esferas do triângulo. O centro dessa esfera fica a uma distância 2R de cada vértice (pois o raio é R). Portanto, se chamarmos h à altura do centro da esfera cima acima do plano do triângulo, temos pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado por h, d e a distância total 2R:
h^2 + d^2 = (2R)^2.

Passo 3

Calcular h usando a=2R e d=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}. Substituindo em
h^2 + \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = (2R)^2
temos
h^2 = (2R)^2 - \frac{4R^2}{3} = 4R^2\left(1-\frac{1}{3}\right)=4R^2\cdot\frac{2}{3}.
Logo
h = 2R\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 4

Relacionar h com c: na rede HCP a distância entre duas camadas A consecutivas (A → B → A) é c. O tetraedro que consideramos corresponde à distância entre uma camada A e a camada B acima; a altura entre uma camada A e a próxima camada A é duas vezes essa altura parcial h. Portanto
c = 2h = 2\cdot\left(2R\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=4R\sqrt{\frac{2}{3}}.
Como a=2R, a razão c/a é
\frac{c}{a}=\frac{4R\sqrt{2/3}}{2R}=2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}.
Numericamente,
\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1{,}633.
Interpretação: esse valor é “ideal” porque corresponde ao caso em que as esferas tocam tanto nas direções do plano basal quanto entre camadas — ou seja, maximiza contatos sem sobreposição das esferas.

Passo 5

Fator de empacotamento (packing fraction) e relação com \,c/a\,. Vamos calcular o fator de empacotamento \eta da célula hexagonal convencional em função de \,a e \,c, depois eliminar a usando a=2R.
  • Volume de uma esfera: \displaystyle V_{\text{esf}}=\frac{4}{3}\pi R^3.
  • Número de átomos (esferas) por célula hexagonal convencional: \,N=6 (fato padrão da célula HCP convencional).
  • Volume da célula hexagonal convencional: a base é um hexágono regular de lado a e área \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2; multiplicando pela altura c temos
V_{\text{célula}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c.é
  • Assim o fator de empacotamento é
\eta=\frac{N\cdot V_{\text{esf}}}{V_{\text{célula}}} = \frac{6\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c} = \frac{8\pi R^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c} = \frac{4\pi R^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c}\cdot\frac{1}{2}é
(mas é mais direto simplificar já substituindo a=2R):
\eta=\frac{6\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{3\sqrt{3}}{2}\,(2R)^2 c} = \frac{8\pi R^3}{6\sqrt{3}R^2 c} = \frac{4\pi R}{3\sqrt{3}\,c}.
Expressa em função de \,c/a\, (lembre c=(c/a)\,a=(c/a)\,2R):
\eta=\frac{4\pi R}{3\sqrt{3}\,(c/a)\,2R}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{(c/a)}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \eta=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{(c/a)}.}

Passo 6

Avaliar \eta no caso ideal \,c/a=\sqrt{8/3}: substituindo nessa fórmula obtemos
\eta_{\text{ideal}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{8/3}} =\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\sqrt{\frac{3}{8}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}74048.
Observação física e consequência para variações de \,c/a\,:
  • O valor \,c/a=\sqrt{8/3} dá o empacotamento máximo possível para esferas idênticas na rede HCP; ele garante que cada esfera tem todos os vizinhos de contato esperados (coordenação 12) sem sobreposição. O valor numérico do empacotamento coincide com o da estrutura cúbica de faces centradas (FCC): \eta_{\max}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048.
  • Se \,c/a for maior que o ideal, as camadas ficam mais afastadas verticalmente; esferas de camadas adjacentes deixam de tocar umas nas outras (perdem contatos), e o fator de empacotamento dado pela fórmula acima diminui (porque \eta\propto 1/(c/a)). Exemplo: para \,c/a=1{,}700 obtém-se \eta\approx 0{,}712 (menor que o ideal).
  • Se tentarmos usar \,c/a menor que o ideal mantendo a=2R, as esferas de camadas adjacentes se sobreporiam — ou seja, para esferas rígidas isso é impossível. Por isso, em termos de esferas rígidas idênticas com contatos no plano basal, \,c/a não pode ser menor que o valor ideal sem violar a condição de não‑sobreposição. Em materiais reais (átomos com ligações e compressibilidade), observam‑se razões \,c/a um pouco diferentes do ideal (por exemplo, alguns metais HCP têm \,c/a levemente menor ou maior) porque as forças interatômicas e energias cristalinas determinam a geometria ótima, não apenas a geometria de esferas duras. Essas variações geralmente reduzem ligeiramente o fator de empacotamento em relação ao máximo geométrico.

Passo 7

Resumo didático e intuição curta (para a prova):
  • A razão \,c/a=\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx 1{,}633 vem da exigência geométrica de que uma esfera no “interstício” entre três esferas do plano basal toque todas elas — forma-se um tetraedro cujas arestas valem 2R e isso fixa a altura h e, via c=2h, fixa c/a.
  • O fator de empacotamento máximo para HCP é \eta_{\max}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048. A fórmula geral que relaciona \eta e \,c/a\, (mantendo a=2R) é
\eta=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{(c/a)}.
  • Conclusão prática: o valor \,1{,}633 é o que dá toque entre camadas e, portanto, máximo empacotamento; aumentar c/a diminui \eta; diminuir c/a (mantendo contatos intraplano) leva à sobreposição (impossível para esferas rígidas), e em sólidos reais pequenas variações indicam efeitos energéticos além do mero empacotamento geométrico.

Resposta

\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1{,}633.
\displaystyle O fator de empacotamento máximo é \displaystyle \eta_{\max}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048; em geral \displaystyle \eta=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{(c/a)}, logo aumentar \,c/a reduz \eta (e \,c/a menor que o ideal, mantendo a=2R, levaria à sobreposição das esferas, ou seja, não é permitido para esferas rígidas).

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