Um metal CFC com raio atômico de 0,144 \mathrm{~nm} apresenta planos (111) com espaçamento interplanar de 0,235 \mathrm{~nm}. Verifique a consistência desses valores usando geometria de estrutura cristalina.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os valores informados são compatíveis entre si usando a geometria da estrutura cristalina. Dados fornecidos:
\text{raio atômico } r = 0,144\\ \mathrm{nm},ô
\text{espaçamento interplanar do plano }(111):\\ d_{111,\text{dado}} = 0,235\\ \mathrm{nm}.ç
A tarefa é calcular o espaçamento interplanar d_{111} a partir de r (usando a geometria da rede CFC) e comparar com o valor dado, mostrando os passos.

Passo 2

Primeiro precisamos da relação entre o parâmetro de rede a (o lado da cela cúbica) e o raio atômico r em uma estrutura CFC. Explicação geométrica (passo a passo, sem pular etapas): na CFC há átomos nos cantos e nos centros das faces. Observe uma face da cela cúbica: ao seguir a diagonal dessa face encontramos três centros atômicos que se tocam na sequência canto – centro da face – canto. A distância entre os dois cantos ao longo da diagonal da face é igual a quatro raios atômicos porque temos, em linha, raio do átomo canto + diâmetro do átomo do centro da face + raio do outro átomo canto = r + 2r + r = 4r. A diagonal da face tem comprimento a\sqrt{2}. Portanto a relação é:
a\sqrt{2} = 4r.
Isolando a obtemos:
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
Aqui a é o comprimento da aresta da cela cúbica e r é o raio atômico.

Passo 3

Agora precisamos da fórmula do espaçamento interplanar para planos (hkl) em uma rede cúbica. Essa fórmula é padrão e vale:
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}},
onde a é o parâmetro de rede e h,k,l são os índices de Miller do plano. No nosso caso o plano é (111), então substituímos h=k=l=1 e obtemos:
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Aqui d_{111} é a distância entre planos consecutivos do conjunto (111).

Passo 4

Combino as duas relações para expressar d_{111} diretamente em função do raio atômico r. Substituindo a=2\sqrt{2}\,r em d_{111}=\dfrac{a}{\sqrt{3}} vem:
d_{111}=\frac{2\sqrt{2}\,r}{\sqrt{3}}.
Podemos reescrever de forma levemente mais simples:
d_{111}=2r\sqrt{\frac{2}{3}}.
Isso nos dá uma fórmula direta para calcular o espaçamento (111) a partir de r.

Passo 5

Agora calculo numericamente usando r=0,144\\ \mathrm{nm}. Primeiro a constante:
\sqrt{2}\approx 1,41421356,\qquad \sqrt{3}\approx 1,73205081,\qquad \sqrt{\frac{2}{3}}\approx 0,81649658.
Usando a expressão d_{111}=2r\sqrt{\dfrac{2}{3}}:
d_{111}=2\cdot 0,144\\ \mathrm{nm}\cdot 0,81649658.
Faço a multiplicação passo a passo:
2\cdot 0,144 = 0,288,
0,288\cdot 0,81649658 \approx 0,235151\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de modo razoável isso dá
d_{111,\text{calculado}}\approx 0,23515\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Comparo o valor calculado com o valor fornecido no enunciado:
d_{111,\text{dado}}=0,235\\ \mathrm{nm},\qquad d_{111,\text{calculado}}\approx 0,23515\\ \mathrm{nm}.
Calculo a diferença absoluta e o erro relativo (percentual):
\Delta d = |0,23515-0,235| = 0,00015\\ \mathrm{nm},
\text{erro relativo} = \frac{0,00015}{0,235}\times 100\%\approx 0,064\%.
Esse erro é insignificante (provém de arredondamentos numéricos), portanto os valores são consistentes.

Passo 7

Como verificação adicional, posso fazer o cálculo inverso: a partir de d_{111,\text{dado}}=0,235\\ \mathrm{nm} obter r. Da fórmula d_{111}=\dfrac{2\sqrt{2}\,r}{\sqrt{3}} isolamos r:
r = d_{111}\,\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = d_{111}\sqrt{\frac{3}{8}}.
Substituindo d_{111}=0,235\\ \mathrm{nm}:
r = 0,235\\ \mathrm{nm}\times \sqrt{\frac{3}{8}}\approx 0,235\cdot 0,61237244 \approx 0,14397\\ \mathrm{nm}\approx 0,144\\ \mathrm{nm},
confirmando novamente a consistência.

Resposta

Os valores são consistentes: o espaçamento calculado é d_{111}\approx 0,23515\\ \mathrm{nm} (diferença de 0,00015\\ \mathrm{nm}, erro relativo \approx 0,064\%), e invertendo os cálculos obtém-se r\approx 0,14397\\ \mathrm{nm}\approx 0,144\\ \mathrm{nm}.

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