Um metal CFC com raio atômico de
apresenta planos (111) com espaçamento interplanar de
. Verifique a consistência desses valores usando geometria de estrutura cristalina.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os valores informados são compatíveis entre si usando a geometria da estrutura cristalina. Dados fornecidos:
A tarefa é calcular o espaçamento interplanar
a partir de
(usando a geometria da rede CFC) e comparar com o valor dado, mostrando os passos.
Passo 2
Primeiro precisamos da relação entre o parâmetro de rede
(o lado da cela cúbica) e o raio atômico
em uma estrutura CFC. Explicação geométrica (passo a passo, sem pular etapas): na CFC há átomos nos cantos e nos centros das faces. Observe uma face da cela cúbica: ao seguir a diagonal dessa face encontramos três centros atômicos que se tocam na sequência canto – centro da face – canto. A distância entre os dois cantos ao longo da diagonal da face é igual a quatro raios atômicos porque temos, em linha, raio do átomo canto + diâmetro do átomo do centro da face + raio do outro átomo canto =
. A diagonal da face tem comprimento
. Portanto a relação é:
Isolando
obtemos:
Aqui
é o comprimento da aresta da cela cúbica e
é o raio atômico.
Passo 3
Agora precisamos da fórmula do espaçamento interplanar para planos
em uma rede cúbica. Essa fórmula é padrão e vale:
onde
é o parâmetro de rede e
são os índices de Miller do plano. No nosso caso o plano é
, então substituímos
e obtemos:
Aqui
é a distância entre planos consecutivos do conjunto
.
Passo 4
Combino as duas relações para expressar
diretamente em função do raio atômico
. Substituindo
em
vem:
Podemos reescrever de forma levemente mais simples:
Isso nos dá uma fórmula direta para calcular o espaçamento
a partir de
.
Passo 5
Agora calculo numericamente usando
. Primeiro a constante:
Usando a expressão
:
Faço a multiplicação passo a passo:
Arredondando de modo razoável isso dá
Passo 6
Comparo o valor calculado com o valor fornecido no enunciado:
Calculo a diferença absoluta e o erro relativo (percentual):
Esse erro é insignificante (provém de arredondamentos numéricos), portanto os valores são consistentes.
Passo 7
Como verificação adicional, posso fazer o cálculo inverso: a partir de
obter
. Da fórmula
isolamos
:
Substituindo
:
confirmando novamente a consistência.
Resposta
Os valores são consistentes: o espaçamento calculado é
(diferença de
, erro relativo
), e invertendo os cálculos obtém-se
.