(a) Explique é que uma rede recíproca de uma rede de Bravais. (b) Quais são as relações matemáticas que existem entre o espaço real e o espaço recíproco?
Passo 1
O enunciado tem duas perguntas claras:
- (a) “Explique o que é uma rede recíproca de uma rede de Bravais.”
- (b) “Quais são as relações matemáticas que existem entre o espaço real e o espaço recíproco?”
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): temos uma rede de Bravais definida por vetores primitivos
e queremos entender/definir a rede recíproca associada, além de expor as relações formais entre os vetores e volumes dos dois espaços. Não há figura adicional nem dados numéricos específicos; a solução será feita em forma geral.
Passo 2
Primeiro, a definição de rede de Bravais (só para termos a base): toda posição de rede é
onde
são inteiros e
são os vetores primitivos (ou base) do reticulado. Aqui cada símbolo significa:
-
: vetor que aponta para um sítio da rede no espaço real; -
: índices inteiros que combinam as direções dos vetores primitivos; -
: vetores primitivos que definem a célula elementar do reticulado.
Essa é a “linguagem” do espaço real; agora vamos ver o que é o espaço recíproco.
Passo 3
Definição operacional da rede recíproca: é o conjunto de todos os vetores
que satisfazem
Explicando por que essa condição: se um vetor
satisfaz essa igualdade, então planos de fase
constante repetem-se com a periodicidade da rede real, logo ondas
são funções com a mesma periodicidade da rede. Portanto os
possíveis formam uma rede discreta — a rede recíproca.
Passo 4
Da condição
para todo
, em particular para
, segue que
Isto significa que os vetores da rede recíproca podem ser escritos como combinações inteiras de três vetores primitivos
:
onde escolhemos
de modo que satisfaçam a condição de ortogonalidade escalada
com
sendo o delta de Kronecker (vale
se
e
caso contrário). Essa escolha define os vetores primitivos da rede recíproca.
Passo 5
Fórmulas explícitas para
. Primeiro definimos o volume da célula primitiva no espaço real:
Então as expressões padrão para os vetores primitivos recíprocos são
Aqui:
- o numerador é um produto vetorial que dá um vetor perpendicular ao plano formado por dois vetores
; - a divisão por
normaliza para a relação desejada com produto interno; o fator aparece por convenção física (ele garante que use múltiplos inteiros de e é o motivo de aparecerem fatores nos volumes recíprocos).
Passo 6
Verificação rápida da condição
para rassurar:
- Por construção,
, então
- Se
, por exemplo e o triple product tem dois vetores iguais, então vale zero, dando . Assim a relação desejada se cumpre.
Passo 7
Relação de volumes entre espaço real e recíproco. Definindo o volume da célula primitiva recíproca como
temos a identidade fundamental
Uma maneira simples de ver isso é tratar a matriz cujas colunas são os vetores
e usar propriedades de determinante: a matriz dos
é proporcional à inversa transposta da matriz dos
com fator
, portanto o determinante (o volume) inverte e pega o fator
.
Passo 8
Propriedade de reciprocidade dupla e outros fatos úteis:
- A rede recíproca da rede recíproca é a rede original. Em termos de vetores primitivos, se
satisfazem , então os vetores primitivos da recíproca dos são exatamente os . - Todo vetor recíproco pode ser escrito como
com . - Para funções periódicas com a periodicidade da rede,
, existe expansão em série de Fourier do tipo
onde a soma vai sobre todos os
da rede recíproca. Isso mostra o papel fundamental do espaço recíproco em representar periodicidades como frequências espaciais.
Passo 9
Exemplos concretos para fixar a intuição (muito úteis para a prova):
- Rede cúbica simples com constante de rede
: escolha
Então
e das fórmulas obtemos
ou seja, a recíproca é outra rede cúbica simples com passo
.
- Resultado famoso: a rede recíproca de uma rede FCC (face-centered cubic) é uma rede BCC (body-centered cubic) e vice-versa. Isso é útil para identificar zonas de Brillouin e difração.
Passo 10
Relação com difração e ondas (breve, para entender propósito físico): condições de difração de Bragg/Laue podem ser escritas em termos da rede recíproca como
onde
e
são vetores de onda incidentes e espalhados. Essa condição é uma forma direta da condição
aplicada à interferência construtiva.
Resposta
(a) A rede recíproca de uma rede de Bravais é o conjunto de todos os vetores
tais que
para todo vetor de rede
; em outras palavras é a rede de frequências espaciais (vetores de onda) que têm a mesma periodicidade da rede real.
(b) Principais relações matemáticas entre espaço real e recíproco:
(b) Principais relações matemáticas entre espaço real e recíproco:
além das consequências: a recíproca da recíproca é a rede original e funções periódicas na rede expandem-se em
.