(a) Explique é que uma rede recíproca de uma rede de Bravais. (b) Quais são as relações matemáticas que existem entre o espaço real e o espaço recíproco?

Passo 1

O enunciado tem duas perguntas claras:
  1. (a) “Explique o que é uma rede recíproca de uma rede de Bravais.”
  2. (b) “Quais são as relações matemáticas que existem entre o espaço real e o espaço recíproco?”
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): temos uma rede de Bravais definida por vetores primitivos \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 e queremos entender/definir a rede recíproca associada, além de expor as relações formais entre os vetores e volumes dos dois espaços. Não há figura adicional nem dados numéricos específicos; a solução será feita em forma geral.

Passo 2

Primeiro, a definição de rede de Bravais (só para termos a base): toda posição de rede é
\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3,
onde n_1,n_2,n_3 são inteiros e \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são os vetores primitivos (ou base) do reticulado. Aqui cada símbolo significa:
  • \mathbf{R}: vetor que aponta para um sítio da rede no espaço real;
  • n_i \in \mathbb{Z}: índices inteiros que combinam as direções dos vetores primitivos;
  • \mathbf{a}_i: vetores primitivos que definem a célula elementar do reticulado.
Essa é a “linguagem” do espaço real; agora vamos ver o que é o espaço recíproco.

Passo 3

Definição operacional da rede recíproca: é o conjunto de todos os vetores \mathbf{G} que satisfazem
e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1\quad\text{para todo }\mathbf{R}\text{ da rede de Bravais.}
Explicando por que essa condição: se um vetor \mathbf{G} satisfaz essa igualdade, então planos de fase \mathbf{G}\cdot\mathbf{r}= constante repetem-se com a periodicidade da rede real, logo ondas e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}} são funções com a mesma periodicidade da rede. Portanto os \mathbf{G} possíveis formam uma rede discreta — a rede recíproca.

Passo 4

Da condição e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 para todo \mathbf{R}, em particular para \mathbf{R}=\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3, segue que
\mathbf{G}\cdot\mathbf{a}_i = 2\pi m_i\quad\text{com }m_i\in\mathbb{Z},\; i=1,2,3.
Isto significa que os vetores da rede recíproca podem ser escritos como combinações inteiras de três vetores primitivos \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3:
\mathbf{G}=m_1\mathbf{b}_1+m_2\mathbf{b}_2+m_3\mathbf{b}_3,
onde escolhemos \mathbf{b}_i de modo que satisfaçam a condição de ortogonalidade escalada
\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\,\delta_{ij},
com \delta_{ij} sendo o delta de Kronecker (vale 1 se i=j e 0 caso contrário). Essa escolha define os vetores primitivos da rede recíproca.

Passo 5

Fórmulas explícitas para \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3. Primeiro definimos o volume da célula primitiva no espaço real:
V = \mathbf{a}_1\cdot\bigl(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3\bigr).
Então as expressões padrão para os vetores primitivos recíprocos são
\mathbf{b}_1 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{V},\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{V},\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{V}.
Aqui:
  • o numerador é um produto vetorial que dá um vetor perpendicular ao plano formado por dois vetores \mathbf{a}_i;
  • a divisão por V normaliza para a relação desejada com produto interno; o fator 2\pi aparece por convenção física (ele garante que e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}} use múltiplos inteiros de 2\pi e é o motivo de aparecerem fatores 2\pi nos volumes recíprocos).

Passo 6

Verificação rápida da condição \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\delta_{ij} para rassurar:
  • Por construção, \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)=V, então
\mathbf{a}_1\cdot\mathbf{b}_1 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}{V}=2\pi.
  • Se i\neq j, por exemplo \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{b}_2 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1)}{V} e o triple product tem dois vetores iguais, então vale zero, dando 0. Assim a relação desejada se cumpre.

Passo 7

Relação de volumes entre espaço real e recíproco. Definindo o volume da célula primitiva recíproca como
V^* = \mathbf{b}_1\cdot\bigl(\mathbf{b}_2\times\mathbf{b}_3\bigr),
temos a identidade fundamental
V^* = \frac{(2\pi)^3}{V}.
Uma maneira simples de ver isso é tratar a matriz cujas colunas são os vetores \mathbf{a}_i e usar propriedades de determinante: a matriz dos \mathbf{b}_i é proporcional à inversa transposta da matriz dos \mathbf{a}_i com fator 2\pi, portanto o determinante (o volume) inverte e pega o fator (2\pi)^3.

Passo 8

Propriedade de reciprocidade dupla e outros fatos úteis:
  • A rede recíproca da rede recíproca é a rede original. Em termos de vetores primitivos, se \mathbf{b}_i satisfazem \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}, então os vetores primitivos da recíproca dos \mathbf{b}_i são exatamente os \mathbf{a}_i.
  • Todo vetor recíproco pode ser escrito como \mathbf{G} = m_1\mathbf{b}_1+m_2\mathbf{b}_2+m_3\mathbf{b}_3 com m_i\in\mathbb{Z}.
  • Para funções periódicas com a periodicidade da rede, f(\mathbf{r}+\mathbf{R})=f(\mathbf{r}), existe expansão em série de Fourier do tipo
f(\mathbf{r})=\sum_{\mathbf{G}} c_{\mathbf{G}}\,e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}},
onde a soma vai sobre todos os \mathbf{G} da rede recíproca. Isso mostra o papel fundamental do espaço recíproco em representar periodicidades como frequências espaciais.

Passo 9

Exemplos concretos para fixar a intuição (muito úteis para a prova):
  • Rede cúbica simples com constante de rede a: escolha
\mathbf{a}_1 = a\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{a}_2 = a\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{a}_3 = a\hat{\mathbf{z}}.
Então V=a^3 e das fórmulas obtemos
\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{a}\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{a}\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{a}\hat{\mathbf{z}},
ou seja, a recíproca é outra rede cúbica simples com passo 2\pi/a.
  • Resultado famoso: a rede recíproca de uma rede FCC (face-centered cubic) é uma rede BCC (body-centered cubic) e vice-versa. Isso é útil para identificar zonas de Brillouin e difração.

Passo 10

Relação com difração e ondas (breve, para entender propósito físico): condições de difração de Bragg/Laue podem ser escritas em termos da rede recíproca como
\mathbf{k}'-\mathbf{k}=\mathbf{G},
onde \mathbf{k} e \mathbf{k}' são vetores de onda incidentes e espalhados. Essa condição é uma forma direta da condição e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 aplicada à interferência construtiva.

Resposta

(a) A rede recíproca de uma rede de Bravais é o conjunto de todos os vetores \mathbf{G} tais que e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1 para todo vetor de rede \mathbf{R}; em outras palavras é a rede de frequências espaciais (vetores de onda) que têm a mesma periodicidade da rede real.
(b) Principais relações matemáticas entre espaço real e recíproco:
\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3,\qquad \mathbf{G}=m_1\mathbf{b}_1+m_2\mathbf{b}_2+m_3\mathbf{b}_3,
\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\,\delta_{ij},
\mathbf{b}_1 = 2\pi\;\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\;\text{(e cyclicamente)},
V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3),\qquad V^*=\mathbf{b}_1\cdot(\mathbf{b}_2\times\mathbf{b}_3)=\frac{(2\pi)^3}{V},
e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}}=1\quad\text{para todo }\mathbf{R},
além das consequências: a recíproca da recíproca é a rede original e funções periódicas na rede expandem-se em \sum_{\mathbf{G}}c_{\mathbf{G}}e^{i\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}.

Exercícios relacionados