Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3} :
S=\{(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,0)\}

Passo 1

O enunciado pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^3. O conjunto dado é
S=\{(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1),(0,0,0)\}.
Vou listar claramente as informações que temos:
  • Os elementos de S são os quatro vetores (1,1,1), (0,1,1), (1,0,1) e (0,0,0).
  • A pergunta é: por que S não é uma base de \mathbb{R}^3?

Passo 2

Primeiro, lembrar (explicando com calma) o que significa ser uma base de \mathbb{R}^3.
  • Um conjunto B de vetores é uma base de \mathbb{R}^3 se e somente se satisfaz duas propriedades simultâneas:
    1. Os vetores de B geram \mathbb{R}^3, isto é, \operatorname{span}(B)=\mathbb{R}^3. Significa que qualquer vetor de \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores de B.
    2. Os vetores de B são linearmente independentes. Significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
    \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=(0,0,0),então necessariamente \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
  • Se um conjunto falha em qualquer uma dessas propriedades, ele não é base.

Passo 3

Agora uma observação muito prática e rápida que costuma resolver esse tipo de pergunta na prova: se um conjunto contém o vetor zero (0,0,0), então ele é automaticamente linearmente dependente. Vou mostrar por que isso é verdade de forma direta e bem simples.
Considere o conjunto S e suponha que um de seus vetores seja o vetor zero, isto é, (0,0,0)\in S. Tome a combinação linear onde o coeficiente do vetor zero é 1 e todos os demais coeficientes são 0. Escrevendo isso:
0\cdot(1,1,1)+0\cdot(0,1,1)+0\cdot(1,0,1)+1\cdot(0,0,0)=(0,0,0).
Aqui os coeficientes não são todos zero (o último é 1), portanto existe uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero. Isso é exatamente a definição de dependência linear. Logo, a presença de (0,0,0) em S implica que S é linearmente dependente.

Passo 4

Como consequência direta do passo anterior, S não pode ser uma base de \mathbb{R}^3, porque uma base exige independência linear e S é dependente. Essa já é uma explicação completa e suficiente para responder a pergunta.
Além disso, existe outra razão, igualmente válida e que é bom saber para a prova: qualquer conjunto com mais de 3 vetores em \mathbb{R}^3 é necessariamente linearmente dependente. Aqui S tem 4 vetores, então por esse princípio também seria impossível que todos fossem independentes. Essa é uma regra útil: a dimensão de \mathbb{R}^3 é 3, então no máximo 3 vetores podem ser independentes.

Passo 5

Para consolidar o entendimento (dica prática de prova): muitas vezes você encontra um conjunto com o vetor zero e pode imediatamente responder “não é base” sem fazer contas. Se quiser salvar uma base a partir de S, basta remover o vetor zero; o conjunto
\{(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)\}
pode ser testado quanto à independência. Fazendo o teste rápido (escrever \alpha(1,1,1)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1)=(0,0,0) e resolver), encontra-se que a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0, ou seja, esses três vetores são linearmente independentes. Como são três vetores independentes em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de \mathbb{R}^3. Isso mostra que a presença do vetor zero em S é a causa da falha — não era que faltassem vetores bons, mas sim que um deles é o vetor zero, que sempre estraga a independência.

Resposta

S não é base de \mathbb{R}^3 porque contém o vetor (0,0,0), logo é linearmente dependente.

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