Explique por que
não é uma base de
:
Passo 1
O enunciado pede para explicar por que
não é uma base de
. O conjunto dado é
Vou listar claramente as informações que temos:
- Os elementos de
são os quatro vetores , , e . - A pergunta é: por que
não é uma base de ?
Passo 2
Primeiro, lembrar (explicando com calma) o que significa ser uma base de
.
- Um conjunto
de vetores é uma base de se e somente se satisfaz duas propriedades simultâneas: - Os vetores de
geram , isto é, . Significa que qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores de . - Os vetores de
são linearmente independentes. Significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
então necessariamente . - Os vetores de
- Se um conjunto falha em qualquer uma dessas propriedades, ele não é base.
Passo 3
Agora uma observação muito prática e rápida que costuma resolver esse tipo de pergunta na prova: se um conjunto contém o vetor zero
, então ele é automaticamente linearmente dependente. Vou mostrar por que isso é verdade de forma direta e bem simples.
Considere o conjunto
e suponha que um de seus vetores seja o vetor zero, isto é,
. Tome a combinação linear onde o coeficiente do vetor zero é
e todos os demais coeficientes são
. Escrevendo isso:
Aqui os coeficientes não são todos zero (o último é
), portanto existe uma combinação linear não trivial que produz o vetor zero. Isso é exatamente a definição de dependência linear. Logo, a presença de
em
implica que
é linearmente dependente.
Passo 4
Como consequência direta do passo anterior,
não pode ser uma base de
, porque uma base exige independência linear e
é dependente. Essa já é uma explicação completa e suficiente para responder a pergunta.
Além disso, existe outra razão, igualmente válida e que é bom saber para a prova: qualquer conjunto com mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente. Aqui
tem
vetores, então por esse princípio também seria impossível que todos fossem independentes. Essa é uma regra útil: a dimensão de
é
, então no máximo
vetores podem ser independentes.
Passo 5
Para consolidar o entendimento (dica prática de prova): muitas vezes você encontra um conjunto com o vetor zero e pode imediatamente responder “não é base” sem fazer contas. Se quiser salvar uma base a partir de
, basta remover o vetor zero; o conjunto
pode ser testado quanto à independência. Fazendo o teste rápido (escrever
e resolver), encontra-se que a única solução é
, ou seja, esses três vetores são linearmente independentes. Como são três vetores independentes em
, eles formam uma base de
. Isso mostra que a presença do vetor zero em
é a causa da falha — não era que faltassem vetores bons, mas sim que um deles é o vetor zero, que sempre estraga a independência.
Resposta
S não é base de
porque contém o vetor
, logo é linearmente dependente.