Explique por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3} : S=\{(7,0,3),(8,-4,1)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
S=\{(7,0,3),(8,-4,1)\}
e pede para explicar por que S não é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Vou listar claramente o que é relevante:
Os vetores fornecidos são dois vetores em \mathbb{R}^{3}.
O que se pede: justificar por que esse conjunto não é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Lembrete didático: o que é uma base de \mathbb{R}^{3}?
Um conjunto B é base de \mathbb{R}^{3} se e somente se:
os vetores de B são linearmente independentes; e
B gera todo \mathbb{R}^{3} (ou seja, \text{span}(B)=\mathbb{R}^{3}).
Além disso, a dimensão de \mathbb{R}^{3} é 3. Portanto qualquer base de \mathbb{R}^{3} deve conter exatamente 3 vetores. Esse é um fato básico: em um espaço vetorial de dimensão n toda base tem n vetores.
Passo 3
Observação sobre os vetores de S: eles não são múltiplos um do outro, então são linearmente independentes como conjunto de dois vetores (dois vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes só se um for múltiplo do outro). Portanto \dim(\text{span}(S))=2 (no máximo), ou seja, S gera no máximo um subespaço de dimensão 2 (um plano através da origem).
Passo 4
Para ser ainda mais concreto — mostrar que S\) não gera todo \(\mathbb{R}^{3}\) — basta encontrar um vetor de \(\mathbb{R}^{3}\) que não seja combinação linear dos vetores de \(S\). Tomemos o vetor canônico
\[e_2=(0,1,0).
Se e_2 estivesse em \text{span}(S), existiriam escalares a,b tais que
a(7,0,3)+b(8,-4,1)=(0,1,0).
Isso dá o sistema de equações (coordenada a coordenada):
Portanto não existe a,b que satisfaçam simultaneamente as três equações; concluímos que
e_2=(0,1,0)\notin\text{span}(S).]
Passo 5
Como e_2 não pertence a \text{span}(S), o espaço gerado por S é um subespaço próprio de \mathbb{R}^{3} (um plano), ou seja \text{span}(S)\neq\mathbb{R}^{3}. Pelo requisito de definição, um conjunto que não gera todo \mathbb{R}^{3} não pode ser uma base de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
S não é base de \mathbb{R}^{3} porque seus dois vetores geram apenas um subespaço de dimensão 2 (um plano) e, portanto, não formam um sistema gerador de \mathbb{R}^{3}; por exemplo, (0,1,0) não é combinação linear dos vetores de S.