Explique por que o seguinte raciocínio, em Cálculo, é inválido:
Se uma função for derivável, então é contínua. A função não é derivável. Logo, não é contínua.

Passo 1

O enunciado dá um argumento do tipo: “Se uma função for derivável então é contínua. A função não é derivável. Logo, não é contínua.” Vou deixar claro o que isso significa, em linguagem lógica simples, sem assumir que já sabe lógica formal:
  • Chame de p a afirmativa "a função é derivável num ponto a".
  • Chame de q a afirmativa "a função é contínua no ponto a".
    O argumento do enunciado é:
p \Rightarrow q,\qquad \neg p \qquad\Longrightarrow\qquad \neg q.
A tarefa é mostrar por que essa passagem de \neg p para \neg q NÃO é válida em geral.

Passo 2

Explicando a forma lógica de modo bem simples e concreto: uma afirmação do tipo p \Rightarrow q (“se p então q”) só garante que sempre que p for verdadeira, q também será verdadeira. Mas quando p é falsa, a implicação não dá nenhuma informação sobre q q pode ser verdadeira ou falsa. Em palavras: a afirmação “derivável implica contínua” não diz o que acontece quando a função NÃO é derivável; pode ser contínua ou não.
Um paralelo cotidiano: “Se chove, a rua fica molhada.” Saber que “não chove” não permite concluir que “a rua não está molhada” — alguém pode ter lavado a rua; ou pode haver outra razão para estar molhada. Esse é exatamente o mesmo tipo de erro.

Passo 3

Formalizando um pouco (mas passo a passo): lembre a equivalência lógica que funciona corretamente — a contrapositiva:
p \Rightarrow q \quad\text{é logicamente equivalente a}\quad \neg q \Rightarrow \neg p.é
Ou seja, da implicação original pode-se tirar com segurança “se não é contínua então não é derivável” ( \neg q \Rightarrow \neg p). Mas não se pode tirar “se não é derivável então não é contínua” ( \neg p \Rightarrow \neg q). O segundo é uma falácia lógica chamada negação do antecedente (denying the antecedent).

Passo 4

Agora um pouco de cálculo (aula curta e necessária): mostrar por que a implicação \text{derivável} \Rightarrow \text{contínua}áí é verdadeira — isso é uma prova simples e importante para entender o contexto.
Definições:
  • A função f é derivável em a se existe o limite
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).
  • A função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se f é derivável em a, então a diferença de f(x) para f(a) pode ser escrita como
f(x)-f(a)=(x-a)\cdot\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
Fazendo o limite quando x\to a, o segundo fator tende a f'(a) (pois a derivada existe) e o primeiro fator (x-a) tende a 0. Portanto o produto tende a 0, ou seja
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=0,
o que implica \lim_{x\to a}f(x)=f(a). Assim derivabilidade implica continuidade. Isso confirma que a hipótese inicial p\Rightarrow q é correta; o problema não está aí, está na inferência posterior.

Passo 5

Contraexemplo prático (a parte que derruba o raciocínio): a função valor absoluto
f(x)=|x|
é um clássico. Vamos verificar no ponto a=0:
  • Continuidade em 0: \lim_{x\to 0}|x|=0=f(0). Logo f é contínua em 0.
  • Derivabilidade em 0: as derivadas laterais são
\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|-0}{x-0}= \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|-0}{x-0}= \lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x}=-1.
Como as derivadas laterais são diferentes, o limite não existe, logo f NÃO é derivável em 0.
Assim aqui temos \neg p (não derivável em 0) e, ao mesmo tempo, q verdadeira (contínua em 0). Isso mostra concretamente que a passagem \neg p \Rightarrow \neg q é falsa: não derivabilidade NÃO implica descontinuidade.

Passo 6

Comentário final e reforço didático: o erro do enunciado é uma falácia lógica (negação do antecedente). Mesmo que a implicação inicial seja correta e bastante usada em cálculo, tirar conclusões invertendo-a sem usar a contrapositiva é incorreto. Sempre que vir um argumento do tipo “Se A então B. Não A. Logo não B.”, desconfie — isso não é um raciocínio válido. Procure contraexemplos simples (como f(x)=|x|) para testar a inferência.
Força aí — esse tipo de lógica aparece muito em provas, e reconhecer a estrutura “p→q” vs “¬p” é uma técnica rápida para flagrar erros.

Resposta

Inválido — é a falácia da negação do antecedente. Contraexemplo: f(x)=|x| não é derivável em 0 mas é contínua em 0.

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