Explique por que o seguinte raciocínio, em Cálculo, é inválido:
Se uma função for derivável, então é contínua. A função não é derivável. Logo, não é contínua.
Se uma função for derivável, então é contínua. A função não é derivável. Logo, não é contínua.
Passo 1
O enunciado dá um argumento do tipo: “Se uma função for derivável então é contínua. A função não é derivável. Logo, não é contínua.” Vou deixar claro o que isso significa, em linguagem lógica simples, sem assumir que já sabe lógica formal:
- Chame de
a afirmativa "a função é derivável num ponto ". - Chame de
a afirmativa "a função é contínua no ponto ".
O argumento do enunciado é:
A tarefa é mostrar por que essa passagem de
para
NÃO é válida em geral.
Passo 2
Explicando a forma lógica de modo bem simples e concreto: uma afirmação do tipo
(“se
então
”) só garante que sempre que
for verdadeira,
também será verdadeira. Mas quando
é falsa, a implicação não dá nenhuma informação sobre
—
pode ser verdadeira ou falsa. Em palavras: a afirmação “derivável implica contínua” não diz o que acontece quando a função NÃO é derivável; pode ser contínua ou não.
Um paralelo cotidiano: “Se chove, a rua fica molhada.” Saber que “não chove” não permite concluir que “a rua não está molhada” — alguém pode ter lavado a rua; ou pode haver outra razão para estar molhada. Esse é exatamente o mesmo tipo de erro.
Passo 3
Formalizando um pouco (mas passo a passo): lembre a equivalência lógica que funciona corretamente — a contrapositiva:
Ou seja, da implicação original pode-se tirar com segurança “se não é contínua então não é derivável” (
). Mas não se pode tirar “se não é derivável então não é contínua” (
). O segundo é uma falácia lógica chamada negação do antecedente (denying the antecedent).
Passo 4
Agora um pouco de cálculo (aula curta e necessária): mostrar por que a implicação
é verdadeira — isso é uma prova simples e importante para entender o contexto.
Definições:
- A função
é derivável em se existe o limite
- A função
é contínua em se
Se
é derivável em
, então a diferença de
para
pode ser escrita como
Fazendo o limite quando
, o segundo fator tende a
(pois a derivada existe) e o primeiro fator
tende a
. Portanto o produto tende a
, ou seja
o que implica
. Assim derivabilidade implica continuidade. Isso confirma que a hipótese inicial
é correta; o problema não está aí, está na inferência posterior.
Passo 5
Contraexemplo prático (a parte que derruba o raciocínio): a função valor absoluto
é um clássico. Vamos verificar no ponto
:
- Continuidade em
: . Logo é contínua em . - Derivabilidade em
: as derivadas laterais são
Como as derivadas laterais são diferentes, o limite não existe, logo
NÃO é derivável em
.
Assim aqui temos (não derivável em
) e, ao mesmo tempo,
verdadeira (contínua em
). Isso mostra concretamente que a passagem
é falsa: não derivabilidade NÃO implica descontinuidade.
Assim aqui temos
Passo 6
Comentário final e reforço didático: o erro do enunciado é uma falácia lógica (negação do antecedente). Mesmo que a implicação inicial seja correta e bastante usada em cálculo, tirar conclusões invertendo-a sem usar a contrapositiva é incorreto. Sempre que vir um argumento do tipo “Se A então B. Não A. Logo não B.”, desconfie — isso não é um raciocínio válido. Procure contraexemplos simples (como
) para testar a inferência.
Força aí — esse tipo de lógica aparece muito em provas, e reconhecer a estrutura “p→q” vs “¬p” é uma técnica rápida para flagrar erros.
Resposta
Inválido — é a falácia da negação do antecedente. Contraexemplo:
não é derivável em
mas é contínua em
.