Exercício 1.30. Mostre, por contradição, que não existe maior número natural.
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, por contradição, que não existe maior número natural.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente usadas):
Informações relevantes dadas (ou implicitamente usadas):
-
é o conjunto dos números naturais (por exemplo ou , dependendo da convenção; a diferença não afeta esta prova). - A operação "somar
" é válida em : se então . - Existe uma relação de ordem usual entre naturais: para
faz sentido dizer , ou .
O que se deve provar: mostrar que a afirmação “existe um maior número natural” é falsa, usando um argumento por contradição.
Passo 2
Explicando o método pedido (prova por contradição), de forma bem prática:
Prova por contradição consiste em assumir que a afirmação que queremos provar é falsa (ou assumir a negação do que queremos provar) e deduzir uma contradição lógica — isto é, chegar a uma afirmação impossível (por exemplo algo do tipo ou algo que contradiz a hipótese que fizemos). Como a suposição leva a contradição, essa suposição deve ser falsa, logo a afirmação original é verdadeira.
Prova por contradição consiste em assumir que a afirmação que queremos provar é falsa (ou assumir a negação do que queremos provar) e deduzir uma contradição lógica — isto é, chegar a uma afirmação impossível (por exemplo algo do tipo
Aqui a afirmação que queremos provar é “não existe maior número natural”. A negação dessa afirmação é “existe um maior número natural”. Então, na prova por contradição, começamos assumindo que existe um maior número natural e vamos buscar uma contradição.
Passo 3
Vamos assumir a negação do que queremos provar (hipótese para contradição): existe um maior número natural. Ou seja, existe
tal que, para todo
, vale
. Em palavras:
é um máximo de
.
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir algo impossível.
Passo 4
Usar uma propriedade básica dos naturais: se
então
, e além disso
. Vou explicar por que isso é intuitivamente claro e aceitável em provas elementares:
- A operação
em está definida de modo que adicionar produz outro natural (essa é uma das propriedades fundamentais das naturais: fechadura em relação ao sucessor). - O número
não pode ser igual a , porque então teria que ocorrer que ao subtrair dos dois lados — e . Mais formalmente, a função “sucessor” é injetora e não mapeia nenhum natural para um anterior, portanto sempre produz um número maior. - Assim, para qualquer
temos e .
Passo 5
Aplicar a propriedade ao nosso
(que assumimos ser o maior natural). Como
, então
e, pelo item anterior,
.
Mas isso contradiz diretamente a hipótese de que
é o maior número natural (pois se
fosse o maior, não poderia existir nenhum natural maior que
). Assim chegamos a uma contradição: a hipótese "existe um maior natural
" implica que existe um natural maior que
.
Passo 6
Concluir a prova por contradição: como a suposição de que existe um maior número natural leva a uma contradição lógica, essa suposição é falsa. Portanto a afirmação original é verdadeira: não existe maior número natural.
Comentário final e motivacional (curto): na prática, isso significa que dado qualquer natural
, sempre existe um natural maior — por exemplo
. É uma ideia simples e poderosa: a reta dos naturais não tem topo; sempre dá para “subir” mais um degrau. Você já viu a prova completa — parabéns por chegar até aqui!
Resposta
Não existe maior número natural.