Exercício 1.30. Mostre, por contradição, que não existe maior número natural.

Passo 1

O enunciado pede que se mostre, por contradição, que não existe maior número natural.
Informações relevantes dadas (ou implicitamente usadas):
  • \mathbb{N} é o conjunto dos números naturais (por exemplo 0,1,2,3,\dots ou 1,2,3,\dots, dependendo da convenção; a diferença não afeta esta prova).
  • A operação "somar 1" é válida em \mathbb{N}: se n\in\mathbb{N} então n+1\in\mathbb{N}.
  • Existe uma relação de ordem usual entre naturais: para a,b\in\mathbb{N} faz sentido dizer a<b, a=b ou a>b.
O que se deve provar: mostrar que a afirmação “existe um maior número natural” é falsa, usando um argumento por contradição.

Passo 2

Explicando o método pedido (prova por contradição), de forma bem prática:
Prova por contradição consiste em assumir que a afirmação que queremos provar é falsa (ou assumir a negação do que queremos provar) e deduzir uma contradição lógica — isto é, chegar a uma afirmação impossível (por exemplo algo do tipo 1=0 ou algo que contradiz a hipótese que fizemos). Como a suposição leva a contradição, essa suposição deve ser falsa, logo a afirmação original é verdadeira.
Aqui a afirmação que queremos provar é “não existe maior número natural”. A negação dessa afirmação é “existe um maior número natural”. Então, na prova por contradição, começamos assumindo que existe um maior número natural e vamos buscar uma contradição.

Passo 3

Vamos assumir a negação do que queremos provar (hipótese para contradição): existe um maior número natural. Ou seja, existe m\in\mathbb{N} tal que, para todo n\in\mathbb{N}, vale n\le m. Em palavras: m é um máximo de \mathbb{N}.
Esta é a hipótese que vamos usar para deduzir algo impossível.

Passo 4

Usar uma propriedade básica dos naturais: se k\in\mathbb{N} então k+1\in\mathbb{N}, e além disso k+1>k. Vou explicar por que isso é intuitivamente claro e aceitável em provas elementares:
  • A operação + em \mathbb{N} está definida de modo que adicionar 1 produz outro natural (essa é uma das propriedades fundamentais das naturais: fechadura em relação ao sucessor).
  • O número k+1 não pode ser igual a k, porque então teria que ocorrer que 1=0 ao subtrair k dos dois lados — e 1\neq0. Mais formalmente, a função “sucessor” S(k)=k+1 é injetora e não mapeia nenhum natural para um anterior, portanto sempre produz um número maior.
  • Assim, para qualquer k\in\mathbb{N} temos k+1\in\mathbb{N} e k+1>k.

Passo 5

Aplicar a propriedade ao nosso m (que assumimos ser o maior natural). Como m\in\mathbb{N}, então m+1\in\mathbb{N} e, pelo item anterior, m+1>m.
Mas isso contradiz diretamente a hipótese de que m é o maior número natural (pois se m fosse o maior, não poderia existir nenhum natural maior que m). Assim chegamos a uma contradição: a hipótese "existe um maior natural m" implica que existe um natural maior que m.

Passo 6

Concluir a prova por contradição: como a suposição de que existe um maior número natural leva a uma contradição lógica, essa suposição é falsa. Portanto a afirmação original é verdadeira: não existe maior número natural.
Comentário final e motivacional (curto): na prática, isso significa que dado qualquer natural n, sempre existe um natural maior — por exemplo n+1. É uma ideia simples e poderosa: a reta dos naturais não tem topo; sempre dá para “subir” mais um degrau. Você já viu a prova completa — parabéns por chegar até aqui!

Resposta

Não existe maior número natural.

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