Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum \frac{1}{n \ln (n) \ln (\ln (n))}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n\ge N}\frac{1}{n\,\ln(n)\,[\ln(\ln(n))]^{p}}
com a constante p>1. Queremos decidir se ela converge ou diverge. Como todos os termos são positivos para n suficientemente grande (por exemplo n>e^{e}), aplicaremos o teste da integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{p}},
válida para x>e^{e}. Observa-se que f(x) é positiva e, verificando por derivada, também decrescente para x>e^{e}. Assim, podemos usar o teste da integral comparando
\sum_{n=N}^{\infty}f(n)
com
\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x\,\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{p}},
fazemos primeiro a substituição
t=\ln(x), \quad dt=\frac{dx}{x},
de modo que a integral vira
\int_{\ln(N)}^{\infty}\frac{dt}{t\,[\ln(t)]^{p}}.

Passo 4

Em seguida, fazemos a segunda substituição
u=\ln(t), \quad du=\frac{dt}{t},
e a integral transforma-se em
\int_{\ln(\ln(N))}^{\infty}\frac{du}{u^{p}}.
Como p>1, essa integral impropria converge, pois
\int_{A}^{\infty}u^{-p}\,du =\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}\right]_{u=A}^{u\to\infty} =\frac{0 - A^{1-p}}{1-p} <\infty.

Passo 5

Pelo teste da integral, se
\displaystyle\int_{N}^{\infty}f(x)\,dx
converge, então a série
\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}f(n)
também converge.

Resposta

A série converge.

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