Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum \frac{1}{n \ln (n)[\ln (\ln (n))]^{p}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)\,[\ln(\ln(n))]^{p}}
sabendo que p>1. Vamos usar o teste da integral, que compara a série a uma integral imprópria de um função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{p}},
valendo para x>e^e. Observamos que, para x>e^e, temos \ln(x)>e e \ln(\ln(x))>1, logo f(x)>0. Além disso, pode-se verificar que f(x) é decrescente para x>e^e, então as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 3

Consideramos a integral imprópria
\int_{A}^{\infty}\frac{dx}{x\,\ln(x)\,[\ln(\ln(x))]^{p}},
com A>e^e. Fazemos a substituição
u=\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad du=\frac{dx}{x}.

Passo 4

A integral passa a
\int_{\ln(A)}^{\infty}\frac{du}{u\,[\ln(u)]^{p}}.
Em seguida, fazemos a segunda substituição
v=\ln(u)\quad\Longrightarrow\quad dv=\frac{du}{u},
ficando

Passo 5

\int_{\ln(\ln(A))}^{\infty}\frac{dv}{v^{p}}.
Essa é uma integral do tipo \displaystyle\int_{M}^{\infty}v^{-p}dv, que converge precisamente quando p>1, pois
\int_{M}^{\infty}v^{-p}dv =\left[\frac{v^{1-p}}{1-p}\right]_{M}^{\infty}
é finito se, e somente se, 1-p<0.

Passo 6

Pelo teste da integral, como a integral associada converge para p>1, a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)\,[\ln(\ln(n))]^{p}} converge para toda constante p>1.

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