Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
sabendo que . Vamos usar o teste da integral, que compara a série a uma integral imprópria de um função contínua, positiva e decrescente.
sabendo que
Passo 2
Definimos a função
valendo para
. Observamos que, para
, temos
e
, logo
. Além disso, pode-se verificar que
é decrescente para
, então as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 3
Consideramos a integral imprópria
com
. Fazemos a substituição
Passo 4
A integral passa a
Em seguida, fazemos a segunda substituição
ficando
Passo 5
Essa é uma integral do tipo
, que converge precisamente quando
, pois
é finito se, e somente se,
.
Passo 6
Pelo teste da integral, como a integral associada converge para
, a série original também converge.
Resposta
A série
converge para toda constante
.