Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo principal é usar propriedades de logaritmo para ver se a soma telescopa e, em seguida, estudar o comportamento do somatório parcial quando
.
Passo 2
Usamos a identidade de logaritmo
Passo 3
Definimos o somatório parcial
Escrevendo as duas somas separadamente:
Passo 4
Ao combinar as somas, quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas os três últimos de
e os três primeiros de
com sinal negativo:
Portanto,
Passo 5
Analisamos o limite de
quando
. Para
grande,
logo
Isso mostra que os somatórios parciais crescem sem limite.
Resposta
A série diverge (os somatórios parciais
tendem a
).