Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n+3}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n+3}{n}\biggr).
O conteúdo principal é usar propriedades de logaritmo para ver se a soma telescopa e, em seguida, estudar o comportamento do somatório parcial quando N\to\infty.

Passo 2

Usamos a identidade de logaritmo
\ln\!\biggl(\frac{n+3}{n}\biggr) = \ln(n+3) - \ln(n).

Passo 3

Definimos o somatório parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \ln\!\biggl(\frac{n+3}{n}\biggr) = \sum_{n=1}^{N} \bigl[\ln(n+3)-\ln(n)\bigr].
Escrevendo as duas somas separadamente:
\sum_{n=1}^{N}\ln(n+3) = \ln(4)+\ln(5)+\cdots+\ln(N+3),
\sum_{n=1}^{N}\ln(n) = \ln(1)+\ln(2)+\cdots+\ln(N).

Passo 4

Ao combinar as somas, quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas os três últimos de \ln(n+3) e os três primeiros de \ln(n) com sinal negativo:
S_{N} = \bigl[\ln(4)+\cdots+\ln(N+3)\bigr] - \bigl[\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)+\cdots+\ln(N)\bigr] = \ln(N+3)+\ln(N+2)+\ln(N+1) - \bigl[\ln(1)+\ln(2)+\ln(3)\bigr].
Portanto,
S_{N} = \ln\!\bigl[(N+3)(N+2)(N+1)\bigr] - \ln(1\cdot 2\cdot 3) = \ln\!\Bigl(\frac{(N+3)(N+2)(N+1)}{6}\Bigr).

Passo 5

Analisamos o limite de S_{N} quando N\to\infty. Para N grande,
(N+3)(N+2)(N+1) = N^{3}\bigl(1+O(1/N)\bigr),
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S_{N} = \ln\!\Bigl(\frac{N^{3}(1+O(1/N))}{6}\Bigr) = 3\ln(N) - \ln(6) + o(1) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; +\infty.
Isso mostra que os somatórios parciais crescem sem limite.

Resposta

A série diverge (os somatórios parciais S_{N} tendem a +\infty).

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