Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.
Este é um problema sobre séries numéricas e vamos usar o teste de comparação por limite com uma p-série.

Passo 2

Definimos a sequência de comparação b_n = 1/n^{1/2}, pois a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}
é uma p-série com p=\tfrac12. Como p\le1 essa p-série diverge. Calculamos o limite de razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/\sqrt{2n+1}}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
O limite é finito e não nulo, logo a série original tem o mesmo comportamento de divergir.

Resposta

A série diverge.

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