Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{5 n^{3}-4 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{5n^3 - 4n + 2}
converge ou diverge. O conteúdo é séries de termos positivos; vamos usar o teste da série- p e o teste de limite de comparação.

Passo 2

Observamos que, para n grande, o termo geral comporta-se como
\frac{n^2}{5n^3 - 4n + 2}\sim \frac{n^2}{5n^3}=\frac{1}{5n}.
A série \sum 1/n é a série harmônica (caso p=1), que diverge.

Passo 3

Para formalizar, definimos
a_n = \frac{n^2}{5n^3 - 4n + 2}, \quad b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{5n^3-4n+2}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{5n^3-4n+2} =\frac{1}{5},
que é finito e não nulo. Pelo teste de limite de comparação, a_n e b_n divergem ou convergem juntos. Como \sum b_n diverge, segue que \sum a_n diverge.

Resposta

A série diverge.

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