Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p}\ln(n)}
sabendo que p>1. O conteúdo da matéria aqui é teste de comparação de séries (ou teste da integral), já que temos um fator logarítmico no denominador.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, note que para todo n\ge3 vale
\ln(n)>1
logo
\frac{1}{n^{p}\ln(n)}<\frac{1}{n^{p}}\,.
Como p>1, a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
é convergente (é uma série p-série com expoente maior que 1).

Passo 3

Como apenas as primeiras duas parcelas ( n=2) ficam de fora da comparação, elas não afetam a convergência do conjunto total. Pelo teste de comparação, a série original também converge.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p}\ln(n)}
converge para todo p>1.

Exercícios relacionados