Explique se a série converge ou diverge(a constante p é maior que 1).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\bigl(\ln n\bigr)^{p}}
onde p é uma constante maior que 1. O conteúdo principal que vamos usar é o teste da integral para séries de termos positivos, aproveitando a comparação com a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\bigl(\ln x\bigr)^{p}}.

Passo 2

Verificamos que a_n = 1/\bigl(n(\ln n)^p\bigr) é positiva e decrescente para n\ge2, pois tanto n\mapsto n quanto n\mapsto(\ln n)^p crescem. Assim, podemos aplicar o teste da integral, que diz: se
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\bigl(\ln x\bigr)^{p}}
converge, então a série \sum a_n também converge; se diverge, a série diverge.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria pela mudança de variável
u = \ln x, \quad du = \frac{dx}{x}.
Quando x=2, u=\ln2; quando x\to\infty, u\to\infty. Logo,
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\bigl(\ln x\bigr)^{p}} =\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{du}{u^{p}}.
Como p>1, sabemos que
\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-p}\,du =\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}\right]_{\ln2}^{\infty} =\lim_{U\to\infty}\frac{U^{1-p}}{1-p} \;-\;\frac{(\ln2)^{1-p}}{1-p}.
Aqui 1-p<0, então U^{1-p}\to0 quando U\to\infty. Assim a integral é finita.

Passo 4

Pela convergência da integral, o teste da integral garante que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\bigl(\ln n\bigr)^{p}}
converge sempre que p>1.

Resposta

A série converge.

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