Explique se a série converge ou diverge(a constante
é maior que 1).
Passo 1
O enunciado pede para decidir a convergência da série
onde
é uma constante maior que
. O conteúdo principal que vamos usar é o teste da integral para séries de termos positivos, aproveitando a comparação com a integral imprópria
Passo 2
Verificamos que
é positiva e decrescente para
, pois tanto
quanto
crescem. Assim, podemos aplicar o teste da integral, que diz: se
converge, então a série
também converge; se diverge, a série diverge.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria pela mudança de variável
Quando
,
; quando
,
. Logo,
Como
, sabemos que
Aqui
, então
quando
. Assim a integral é finita.
Passo 4
Pela convergência da integral, o teste da integral garante que
converge sempre que
.
Resposta
A série converge.