Explique a teoria de Teória de Coulomb (1776) para o cálculo de empuxo, destacando as principais diferenças entre ela e a teoria de Rankine (1857).

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente explicar a Teoria de Coulomb de 1776 pra calcular o empuxo de terra e, no fim, mostrar as principais diferenças dela pra Teoria de Rankine (1857). Isso cai em Mecânica dos Solos e, pra resolver, a gente vai precisar de:
  • O conceito de empuxo ativo (solo “empurrando” a parede).
  • O ângulo de atrito interno do solo φ.
  • O atrito solo-parede δ.
  • A inclinação da superfície livre do solo β (se não for horizontal).
  • A inclinação da parede α (se não for vertical).

Passo 2

Teoria de Coulomb na prática
  1. A ideia é imaginar um bloco de solo que tende a deslizar pela base inclinada até romper num plano plano.
  2. Equilíbrio de forças no bloco:
    • Peso do bloco: W.
    • Reação de atrito na parede: Pa (o empuxo ativo que a parede sente).
    • Força de atrito no plano de ruptura interno: depende de φ.
  3. Montamos as equações de soma de forças e momentos para achar Pa em função de W, dos ângulos e do atrito δ.
  4. O resultado geral para o coeficiente de empuxo ativo Ka (tal que Pa=tfrac12,gamma,H^2,Ka) fica:
Ka ;=; cos^2(phi-alpha) cosalpha;cos(de
onde
gamma = peso específico do solo,
H = altura da parede,
• α = inclinação da parede (em relação à vertical),
• β = inclinação da superfície livre (em relação à horizontal),
• δ = ângulo de atrito solo-parede,
• φ = ângulo de atrito interno do solo.

Passo 3

Caso especial (o mais usado): parede vertical (α=0), superfície livre horizontal (β=0) e desprezo do atrito na parede (δ=0). Aí a fórmula vira a clássica:
Ka ;=;tan^2!l(45^circ-tfracphi2r)
e o empuxo resultante é
Pa ;=;tfrac12,gamma,H^2,tan^2!l(45^circ-tfracphi2r)
Essa simplificação já resolve muita situação prática.

Passo 4

Principais diferenças entre Coulomb e Rankine
  1. Consideração de atrito parede-solo
    • Coulomb: inclui δ (mais realista).
    • Rankine: assume δ=0 (parede lisa).
  2. Geometria
    • Coulomb: permite inclinação da parede (α≠0) e do terreno (β≠0).
    • Rankine: parede vertical e superfície livre horizontal.
  3. Método de equilíbrio
    • Coulomb: equilíbrio de um bloco rígido num plano de ruptura arbitrário.
    • Rankine: admite que o solo todo falha segundo planos de cortante inclinados a 45°±φ/2 (estado de plasticidade no interior).
  4. Complexidade
    • Coulomb: mais geral, mas exige cálculo numérico ou gráfico.
    • Rankine: fórmula fechada mais simples.

Resposta

A Teoria de Coulomb trata o solo como um bloco rígido, considera atrito solo-parede (δ), inclinação da parede (α) e da superfície livre (β), e deriva Ka via equilíbrio de forças no bloco. Já Rankine simplifica: parede vertical, solo liso (δ=0) e campo de tensões plásticas internas, resultando em
Ka=tan^2!l(45^circ-tfracphi2r)
Em resumo, Coulomb é mais geral e realista; Rankine é mais simples e rápido, mas menos flexível.

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