As tensões principais maiores e menores medidas em um elemento de solo são iguais a 200 e 100 kPa , respectivamente. O solo é uma areia seca com um ângulo de atrito interno de 32^circ. Quando o solo for carregado, incrementos adicionais de tensão compressiva de De e De serão sobrepostos em sigma1 e sigma3, respectivamente. Determine o valor máximo possível de De de modo que a resistência ao cisalhamento não seja excedida no elemento de solo.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que a gente precisa usar.
  • Enunciado resumido: um pedacinho de areia seca tem tensões principais maiores e menores iguais a 200 kPa e 100 kPa. Depois aplicam um carregamento extra que aumenta σ₁ em Δσ e σ₃ em Δσ/4. A gente precisa achar o maior Δσ possível sem que o solo falhe.
  • Conteúdo da matéria: critério de Mohr-Coulomb (areia seca, atrito interno φ = 32° e coesão c = 0).
  • O que vamos precisar:
    1. Escrever as tensões principais pós-carregamento.
    2. Usar a forma do critério de Mohr-Coulomb para solo sem coesão: (sigma1-sigma3)/(sigma1+sigma3)=sinphi
    3. Resolver a equação para Δσ.

Passo 2

Definindo as tensões depois do carregamento:
  • σ₁′ = 200 + Δσ
  • σ₃′ = 100 + Δσ/4
Como areia seca não tem coesão (c=0), a falha ocorre quando o estado atinge exatamente o envelope de Mohr-Coulomb.

Passo 3

O critério de Mohr-Coulomb para c=0 em termos de tensões principais é:
sigma1'-sigma3'sigma1'+sigma3' ;=;sinphi
Aqui φ=32°, então (200+Δσ);-;(100+Δσ/4)(200+Δσ);+;(100+Δσ/4) ;=;0,5299 . Substituindo σ₁′ e σ₃′:

Passo 4

Agora só resolver a conta:
  1. Numerador:
    100 + 0,75,Δσ300 + 1,25,Δσ = 0,5299
  2. Denominador:
    100 + 0,75,Δσ = 0,5299,(300 + 1,25,Δσ) =158,97 +0,6624,Δσ
    Então a equação fica
0,75,Δσ - 0,6624,Δσ = 158,97 - 100 ;Longrightarrow;0,0876,Δσ = 58,97 ;Longrightarrow;Δσ approx 58,970,0876approx673,4;kPa
Multiplicando em cruz:
Isolando Δσ:

Resposta

O maior incremento Δσ que não provoca falha é aproximadamente 673 kPa.

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