As tensões principais maiores e menores medidas em um elemento de solo são iguais a 200 e 100 kPa , respectivamente. O solo é uma areia seca com um ângulo de atrito interno de
. Quando o solo for carregado, incrementos adicionais de tensão compressiva de
e
serão sobrepostos em
e
, respectivamente. Determine o valor máximo possível de
de modo que a resistência ao cisalhamento não seja excedida no elemento de solo.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado diz e o que a gente precisa usar.
- Enunciado resumido: um pedacinho de areia seca tem tensões principais maiores e menores iguais a 200 kPa e 100 kPa. Depois aplicam um carregamento extra que aumenta σ₁ em Δσ e σ₃ em Δσ/4. A gente precisa achar o maior Δσ possível sem que o solo falhe.
- Conteúdo da matéria: critério de Mohr-Coulomb (areia seca, atrito interno φ = 32° e coesão c = 0).
- O que vamos precisar:
- Escrever as tensões principais pós-carregamento.
- Usar a forma do critério de Mohr-Coulomb para solo sem coesão:
- Resolver a equação para Δσ.
Passo 2
Definindo as tensões depois do carregamento:
- σ₁′ = 200 + Δσ
- σ₃′ = 100 + Δσ/4
Como areia seca não tem coesão (c=0), a falha ocorre quando o estado atinge exatamente o envelope de Mohr-Coulomb.
Passo 3
O critério de Mohr-Coulomb para c=0 em termos de tensões principais é:
Aqui φ=32°, então
. Substituindo σ₁′ e σ₃′:
Passo 4
Agora só resolver a conta:
- Numerador:
- Denominador:
Então a equação fica
Multiplicando em cruz:
Isolando Δσ:
Resposta
O maior incremento Δσ que não provoca falha é aproximadamente 673 kPa.