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(3,0 pontos) Uma esfera maciça de raio
é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
. A esfera possui uma densidade de carga uniforme com carga total
a casca possui uma carga total de
. Determine o módulo do campo elétrico (a) em
; (b) em
; © em
; (d) em
. Determine (e) qual é a carga total sobre a superfície de raio
e (f) qual é a carga total sobre a superfície de raio
.
(3,0 pontos) Uma esfera maciça de raio
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera maciça com raio $ a $ e carga total $ +Q $, que está no mesmo centro de uma casca esférica condutora com raio interno $ b $ e raio externo $ c $, com carga total $ +5Q $. O conteúdo principal aqui envolve eletrostática, especificamente o uso da Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor dessas cargas. Vamos precisar entender conceitos como distribuição de carga, campos elétricos em diferentes regiões e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as diferentes regiões onde precisamos encontrar o campo elétrico:
- Região 1: $ r < a $ (dentro da esfera maciça)
- Região 2: $ a < r < b $ (entre a esfera maciça e a casca interna)
- Região 3: $ b < r < c $ (dentro da casca condutora)
- Região 4: $ r > c $ (fora da casca condutora)
Vamos usar a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Passo 3
(a) Para $ r < a $:
Aqui, estamos dentro da esfera maciça com carga uniforme. A carga dentro de um raio $ r $ é proporcional ao volume, já que a densidade de carga é uniforme.
A carga total $ Q $ está distribuída uniformemente no volume da esfera de raio $ a $, então a densidade de carga $ \rho $ é:
A carga interna $ Q_{interno} $ dentro de uma esfera de raio $ r $ é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 4
(b) Para $ a < r < b $:
Nesta região, estamos entre a esfera maciça e a casca interna condutora. A casca condutora tem carga total $ +5Q $, mas como ela é condutora, qualquer carga na superfície interna será igual e oposta à carga dentro da cavidade para manter o equilíbrio eletrostático.
Então, a carga na superfície interna da casca esférica é $ -Q $ (para neutralizar a carga $ +Q $ da esfera interna). A carga restante na casca está na superfície externa.
A carga interna dentro de uma esfera de raio $ r $ nessa região é apenas $ +Q $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
© Para $ b < r < c $:
Aqui, estamos dentro do material da casca condutora. Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso ocorre porque as cargas livres se movem de forma a cancelar qualquer campo interno.
Então, o campo elétrico $ E $ nesta região é:
Passo 6
(d) Para $ r > c $:
Nesta região, estamos fora da casca condutora. As cargas se distribuem na superfície externa da casca, e a carga total considerada é a soma da carga da esfera interna $ +Q $ e da carga total da casca $ +5Q $.
A carga total efetiva é $ Q_{total} = Q + 5Q = 6Q $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 7
(e) Carga total na superfície de raio $ b $:
Como a casca condutora tem uma carga total de $ +5Q $ e a superfície interna tem carga $ -Q $, a carga na superfície externa $ c $ será:
Então, a carga total na superfície de raio $ b $ é:
Passo 8
(f) Carga total na superfície de raio $ c $:
Conforme calculado no passo anterior:
Resposta
(a) $ E = \dfrac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} $
(b) $ E = \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} $
© $ E = 0 $
(d) $ E = \dfrac{3Q}{2 \pi \varepsilon_0 r^2} $
(e) Carga na superfície de raio $ b $: $ -Q $
(f) Carga na superfície de raio $ c $: $ +6Q $