Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
N(r)=tg^-1(1+e^-r^2)

Passo 1

O enunciado define a função
N(r)=tg^-1l(1+e^-r^2r)
O assunto é continuidade de funções elementares. Usaremos:
Teorema 4 (toda função polinomial é contínua em R),
Teorema 5 (a função exponencial é contínua em R),
Teorema 7 (soma e produto de funções contínuas são contínuas) e
Teorema 9 (composição de funções contínuas é contínua).

Passo 2

A função
rmapsto r^2
é polinomial, logo contínua em todo R pelo Teorema 4. Então
rmapsto -r^2
é produto de uma constante e de r^2, sendo contínua pelo Teorema 7.

Passo 3

Como xmapsto e^x é contínua em todo R (Teorema 5) e -r^2 é contínua, a composição
rmapsto e^-r^2
é contínua em R pelo Teorema 9.

Passo 4

A função constante
rmapsto 1
é contínua em R (Teorema 4). Como rmapsto e^-r^2 também é contínua, a soma
rmapsto 1+e^-r^2
é contínua em R pelo Teorema 7.

Passo 5

A função
xmapsto tg^-1(x)
é contínua em todo R. Como 1+e^-r^2 mapeia R em R e é contínua, a composição
N(r)=tg^-1l(1+e^-r^2r)
é contínua em todo R pelo Teorema 9.

Resposta

O domínio de N é R e N(r) é contínua para todo rinR.

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