Um explorador espacial A parte com uma velocidade uniforme de 0,95 c com relação a uma estrela distante. Depois de explorar a estrela por um pequeno intervalo de tempo, ele retoma com a mesma velocidade e chega em casa depois de uma ausência total de 80 anos (conforme medido pelos observadores da Terra). Quanto tempo o relógio de A informa que ele esteve fora, e por quanto ele envelheceu quando comparado ao seu irmão gêmeo

Passo 1

Temos o clássico paradoxo dos gêmeos: o explorador A sai da Terra e viaja a v=0,95c, explora uma estrela por tempo desprezível e retorna, totalizando 80 anos medidos na Terra. Queremos calcular (a) o tempo próprio que o relógio de A marca durante toda a viagem e (b) quanto ele envelheceu em relação ao irmão que ficou na Terra.

Passo 2

Em relatividade especial, o tempo próprio \Delta \tau de quem se move a velocidade constante v está relacionado ao tempo \Delta t medido por um observador em repouso pela fórmula da dilatação de tempo:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.
Queremos inverter essa relação para achar \Delta \tau = \Delta t/\gamma.

Passo 3

Calculamos o fator de Lorentz para v=0,95c:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,95^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9025}} = \frac{1}{\sqrt{0,0975}} \approx 3{,}202.

Passo 4

O tempo próprio total de A é
\tau = \frac{t_{\rm Terra}}{\gamma} = \frac{80}{3{,}202} \approx 24{,}99\text{ anos}.
Arredondando, o relógio de A marca cerca de 25 anos.

Resposta

O explorador A registra aproximadamente 25 anos de viagem, ou seja, ele envelhece 25 anos enquanto seu irmão na Terra envelhece 80 anos (diferença de 55 anos).

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