Uma explosão no nível do solo produz uma cratera com um diâmetro que é proporcionalà raiz cúbica da energia da explosão; uma explosão de 1 megaton de TNT produz uma cratera com 1 km de diâmetro. Sob o lago Huron, em Michigan, parece haver uma antiga cratera de impacto com 50 km de diâmetro. Qual a energia cinética associada a esse impacto, em termos (a) de megatons de TNT e (b) em bombas atômicas de Hiroshima equivalentes (veja o problema anterior)? (Os impactos de meteoritos ou cometas podem ter modificado significativamente o clima da Terra e contribuído para a extinção dos dinossauros e outras formas de vida.)

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro da cratera D é proporcional à raiz cúbica da energia da explosão E. Isso significa que
D = k\,E^{1/3}
onde k é uma constante de proporcionalidade. Sabemos que uma explosão de 1 megaton de TNT E_0=1 produz uma cratera de 1 km D_0=1, e queremos achar E quando D=50 km.

Passo 2

Usando os valores de referência, temos
D_0 = k\,E_0^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad 1 = k\cdot1^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad k = 1.
Logo a relação simplifica para
D = E^{1/3} \quad\Longrightarrow\quad E = D^3.

Passo 3

Para D=50 km, calculamos
E = 50^3 = 125000
ou seja, E = 1{,}25\times10^5 megatons de TNT.

Passo 4

Agora, para expressar isso em bombas de Hiroshima, usamos o rendimento típico de 1 bomba de Hiroshima como cerca de 15 kt de TNT, ou seja 0,015 MT. Se E é o total em megatons, o número de bombas é
N = \frac{E}{0,015}.

Passo 5

Substituindo E = 125000 MT,
N = \frac{125000}{0,015} \approx 8{,}3\times10^6.

Resposta

(a) 1{,}25\times10^5 megatons de TNT.
(b) Aproximadamente 8{,}3\times10^6 bombas de Hiroshima.

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