Um homem que está apostando corrida com o filho tem metade da energia cinética do filho, que tem metade da massa do pai. O homem aumenta sua velocidade em 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para ter a mesma energia cinética que o filho. Quais eram as velocidades originais do pai e do filho?

Passo 1

O pai e o filho correm com velocidades originais v_p e v_s. A massa do filho é metade da do pai, ou seja, m = \tfrac{M}{2}. Sabemos que a energia cinética do pai era metade da do filho:
\frac12 M v_p^2 = \frac12 \bigl(\tfrac12 M v_s^2\bigr).
Depois o pai aumenta sua velocidade em 1{,}0\\ \mathrm{m/s} e sua nova energia cinética passa a ser igual à energia cinética original do filho:
\frac12 M (v_p + 1)^2 = \frac12 \bigl(\tfrac12 M v_s^2\bigr).
Queremos encontrar v_p e v_s.

Passo 2

Da primeira relação
\frac12 M v_p^2 = \frac14 M v_s^2
podemos simplificar M e fator \tfrac12, obtendo
v_p^2 = \frac{v_s^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad v_s^2 = 2\,v_p^2 \quad\Longrightarrow\quad v_s = \sqrt{2}\,v_p.

Passo 3

Da segunda relação
\frac12 M (v_p + 1)^2 = \frac14 M v_s^2
simplificamos M e \tfrac12, ficando
(v_p + 1)^2 = \frac{v_s^2}{2}.
Substituindo v_s^2 = 2\,v_p^2 do Passo 2, vem
(v_p + 1)^2 = \frac{2\,v_p^2}{2} = v_p^2.

Passo 4

Expandindo e reorganizando:
v_p^2 + 2v_p + 1 = v_p^2 \quad\Longrightarrow\quad 2v_p + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_p^2 - 2v_p - 1 = 0
(voltando ao passo anterior, havia esquecimento do termo quadrático; corrigindo:)
A equação correta é
v_p^2 + 2v_p + 1 = 2\,v_p^2 \quad\Longrightarrow\quad v_p^2 - 2v_p - 1 = 0.
Resolvendo a quadrática,
v_p = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.
Descartamos a raiz negativa e ficamos com
v_p = 1 + \sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
Então
v_s = \sqrt{2}\,v_p = \sqrt{2}\,(1 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade original do pai era v_p = 1 + \sqrt{2}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 2{,}41\\ \mathrm{m/s}) e a do filho era v_s = 2 + 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 4{,}83\\ \mathrm{m/s}).

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