Em uma exposição no Centro Cultural do Banco do Brasil foram expostas obras de Drift. As obras representam vibração, frequência, movimento, dança e leveza. Uma das obras de metal, com peso de 3.140 kgf ficava suspensa por um fio de aço. Entre os aços 1020(380 MPa) e 4140(942 MPa). Determine o menor diâmetro para suportar a obra.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o menor diâmetro do fio de aço capaz de suportar a obra. Dados fornecidos:
  • Peso da obra: 3.140\\ \mathrm{kgf}.
    Observação: há ambiguidade sobre o formato do número (poderia ser 3{,}140\\ \mathrm{kgf} = três vírgula cento e quarenta kgf ou 3140\\ \mathrm{kgf} = três mil cento e quarenta kgf). Vou assumir que o valor é 3140\\ \mathrm{kgf} (três mil cento e quarenta quilograma‑força), porque esse tipo de peça pesada costuma ter massa significativa. Se o seu enunciado quis dizer 3{,}140\\ \mathrm{kgf} (três vírgula quatorze kgf), avise‑me para eu refazer as contas.
  • Dois aços possíveis com suas resistências (presumivelmente resistência última ou resistência admissível fornecida no enunciado):
    • Aço 1020: \;380\\ \mathrm{MPa}
    • Aço 4140: \;942\\ \mathrm{MPa}
O que precisamos entregar: o menor diâmetro do fio de aço capaz de suportar a carga (para cada aço) e, portanto, qual é o menor diâmetro entre as opções.

Passo 2

Converter o peso em força (newtons). Explicação rápida: 1\\ \mathrm{kgf} é a força peso de 1\\ \mathrm{kg} sob aceleração padrão da gravidade; numericamente, 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}. Para transformar a carga dada em \mathrm{N} multiplicamos por esse fator.
Cálculo:
P = 3140\\ \mathrm{kgf}\times 9{,}80665\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kgf}} = 30\,792{,}881\\ \mathrm{N}.
Vou arredondar para uso prático mantendo precisão adequada: P \approx 30{,}792{,}9\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Apresentar a fórmula básica que vamos usar e explicar variáveis. Explicação didática: quando um fio sustenta uma carga axial, a tensão média no fio é dada por
\sigma = \frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (em pascal, \mathrm{Pa}), P é a força axial (em newtons, \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal do fio (em metros quadrados, \mathrm{m}^2). Para um fio circular de diâmetro d, a área é
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Queremos garantir que a tensão gerada seja menor ou igual à resistência fornecida \sigma_\text{res}. Reorganizando para achar d:
\sigma_\text{res} \ge \frac{P}{A} \quad\Rightarrow\quad A \ge \frac{P}{\sigma_\text{res}}
\Rightarrow\quad \frac{\pi d^2}{4} \ge \frac{P}{\sigma_\text{res}}
\Rightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{4P}{\pi\,\sigma_\text{res}}}.
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Observação: aqui usei a resistência direta fornecida no enunciado como tensão admissível. Em projeto real é comum aplicar um fator de segurança (SF) multiplicando P por SF ou dividindo \sigma_\text{res} por SF; como o enunciado não pede SF, vou calcular o diâmetro teórico mínimo sem SF e depois comento sobre segurança.

Passo 4

Calcular o diâmetro mínimo usando o aço 1020 com \sigma_\text{res}=380\\ \mathrm{MPa}. Traduzir unidades: 380\\ \mathrm{MPa}=380\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a fórmula
d_{1020} = \sqrt{\frac{4P}{\pi\,\sigma_{1020}}}
d_{1020} = \sqrt{\frac{4\cdot 30\,792{,}881}{\pi\cdot 380\times 10^{6}}}\\ \text{m}.
Agora as contas (mostrando passo a passo):
4P = 4\cdot 30\,792{,}881 = 123\,171{,}524.
\pi\cdot\sigma_{1020} = \pi\cdot 380\times 10^{6} \approx 3{,}14159265\cdot 380\times 10^{6} = 1{,}193{,}804{,}201{,}\,\text{(aprox.)}
\frac{4P}{\pi\sigma_{1020}} \approx \frac{123\,171{,}524}{1{,}193{,}804{,}201} \approx 0{,}0001031877\\ \mathrm{m}^2.
d_{1020} \approx \sqrt{0{,}0001031877} \approx 0{,}0101574\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
d_{1020} \approx 10{,}16\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular o diâmetro mínimo usando o aço 4140 com \sigma_\text{res}=942\\ \mathrm{MPa}. Traduzir unidades: 942\\ \mathrm{MPa}=942\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a fórmula
d_{4140} = \sqrt{\frac{4P}{\pi\,\sigma_{4140}}}
d_{4140} = \sqrt{\frac{4\cdot 30\,792{,}881}{\pi\cdot 942\times 10^{6}}}\\ \text{m}.
Passo a passo:
4P = 123\,171{,}524\\ \text{(mesmo que antes)}.
\pi\cdot\sigma_{4140} = \pi\cdot 942\times 10^{6} \approx 3{,}14159265\cdot 942\times 10^{6} \approx 2{,}960{,}882{,}000.
\frac{4P}{\pi\sigma_{4140}} \approx \frac{123\,171{,}524}{2{,}960{,}882{,}000} \approx 0{,}00004162\\ \mathrm{m}^2.
d_{4140} \approx \sqrt{0{,}00004162} \approx 0{,}00645\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros:
d_{4140} \approx 6{,}45\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Comparação e observações finais (didáticas e práticas):
  • Numericamente, d_{4140}<d_{1020}. Logo, para suportar a mesma carga, o aço com maior resistência permite um fio de menor diâmetro.
  • Valores obtidos (sem fator de segurança):
    • d_{1020} \approx 10{,}16\\ \mathrm{mm}.
    • d_{4140} \approx 6{,}45\\ \mathrm{mm}.
  • Observação prática importante: em projeto real sempre se aplica um fator de segurança (por exemplo SF=3 ou mais, dependendo do risco). Para incluir SF, substitui‑se P por P\cdot SF na fórmula; isso aumenta o diâmetro. Também considere ligações, nós, desgastes, impactos e certificações do fio (cabos são comercializados em bitolas padrão e têm resistência reduzida por emenda e por flexão). Portanto, embora o diâmetro teórico mínimo seja ~ 6{,}45\\ \mathrm{mm} para 4140, provavelmente na prática escolheríamos um fio com diâmetro comercial maior (por exemplo 8\\ \mathrm{mm} ou 10\\ \mathrm{mm} dependendo do SF e das condições).

Resposta

d_{1020} \approx 10{,}16\\ \mathrm{mm}
d_{4140} \approx 6{,}45\\ \mathrm{mm}
Menor diâmetro (entre as opções): d_{4140} \approx 6{,}45\\ \mathrm{mm}

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