Expreesse cada função abaixo como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o raio e o intervalo de convergência.
;
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver \r
em série de potências centrada em
, usando frações parciais e somas de séries geométricas. O que vamos precisar é: \r
- fatorar o denominador e montar a decomposição em frações parciais; \r
- lembrar que, para
, \r
- intersectar as condições de convergência para achar o raio e o intervalo.
Passo 2
Fatoramos o denominador e escrevemos a fração parcial. \r
Multiplicando em comum e igualando coeficientes: \r
Daí
e
. Logo
,
. Assim \r
Passo 3
Reescrevemos cada termo como série geométrica. \r
Para
e
valem as expansões: \r
Passo 4
A condição comum de convergência é
. Somando as duas séries, para
: \r
Passo 5
Concluímos que a série de potências de
em torno de zero é \r
e o raio de convergência é
com intervalo de convergência