Expreesse cada função abaixo como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o raio e o intervalo de convergência.
f(x)=\frac{3 x-2}{2 x^{2}-3 x+1};

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver \r
\frac{3x-2}{2x^2-3x+1} \r
em série de potências centrada em 0, usando frações parciais e somas de séries geométricas. O que vamos precisar é: \r
  1. fatorar o denominador e montar a decomposição em frações parciais; \r
  2. lembrar que, para |a x|<1, \r
\frac{1}{1-ax}=\sum_{n=0}^{\infty}(a x)^n; \r
  1. intersectar as condições de convergência para achar o raio e o intervalo.

Passo 2

Fatoramos o denominador e escrevemos a fração parcial. \r
2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1),
\frac{3x-2}{2x^2-3x+1} =\frac{3x-2}{(2x-1)(x-1)} =\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x-1}. \r
Multiplicando em comum e igualando coeficientes: \r
3x-2=A(x-1)+B(2x-1)= (A+2B)x-(A+B). \r
Daí A+2B=3 e A+B=2. Logo B=1, A=1. Assim \r
\frac{3x-2}{2x^2-3x+1} =\frac{1}{2x-1}+\frac{1}{x-1}.

Passo 3

Reescrevemos cada termo como série geométrica. \r
\frac{1}{2x-1}=-\frac{1}{1-2x},\quad \frac{1}{x-1}=-\frac{1}{1-x}. \r
Para |2x|<1 e |x|<1 valem as expansões: \r
-\frac{1}{1-2x} =-\sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n =-\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n,
-\frac{1}{1-x} =-\sum_{n=0}^{\infty}x^n.

Passo 4

A condição comum de convergência é |x|<\tfrac12. Somando as duas séries, para |x|<\tfrac12: \r
f(x) =-\sum_{n=0}^{\infty}2^n x^n \;-\;\sum_{n=0}^{\infty}x^n =-\sum_{n=0}^{\infty}(2^n+1)\,x^n.

Passo 5

Concluímos que a série de potências de f(x) em torno de zero é \r
\boxed{ f(x) =-\sum_{n=0}^{\infty}(2^n+1)\,x^n, }
e o raio de convergência é
R=\frac12,
com intervalo de convergência
(-\tfrac12,\;\tfrac12).

Resposta

f(x) =-\sum_{n=0}^{\infty}(2^n+1)\,x^n, \quad R=\tfrac12, \quad\text{IC}=(-\tfrac12,\tfrac12).

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