Expreesse a equação do calor
em coordenadas esféricas se
for independente de
(d)
e
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação do calor
e pede para expressá‑la em coordenadas esféricas no caso em que
é independente de
, de
e de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
no caso geral, mas aqui não depende de , de nem de . Logo (apenas função do raio ). -
é a difusividade térmica (constante positiva).
A partir daqui vamos reduzir o laplaciano em coordenadas esféricas usando a hipótese de independência angular e temporal, e resolver a equação resultante.
Passo 2
Escrevo a forma geral do laplaciano em coordenadas esféricas (variáveis:
radial,
colatitude,
longitude):
Explicação breve dos termos:
- O primeiro termo é a contribuição radial: mistura
com a derivada radial porque o elemento de volume esférico cresce como . - Os outros dois termos vêm das variações angulares em
e .
Passo 3
Agora uso a hipótese de independência angular:
não depende de
nem de
. Então
o que anula os dois últimos termos do laplaciano. Portanto, para uma função radial
,
Observação: aqui troquei
por
porque agora só resta dependência da variável
.
Passo 4
Também foi dado que
é independente de
. Logo
Substituindo isso e o laplaciano radial na equação do calor obtemos a equação reduzida (estado estacionário radial):
Como
, podemos dividir por
e escrever a forma canônica da equação ordinária:
Passo 5
Agora resolvo a equação diferencial ordinária passo a passo. Seja
Integro em relação a
: existe uma constante
tal que
Então
Integrando novamente em
obtemos (com constante de integração
)
Podemos reescrever os constantes trocando de nome, por exemplo
. Comentário físico: impor condições de contorno determina
e
; por exemplo, exigir
limitada em
força
, ficando
constante.