Expreesse a equação do calor ∂ U / ∂ t=κ ∇^{2} U em coordenadas esféricas se U for independente de
(d) \varphi, \theta e t

Passo 1

O enunciado dá a equação do calor
\frac{\partial U}{\partial t} = \kappa \nabla^{2} U
e pede para expressá‑la em coordenadas esféricas no caso em que U é independente de \varphi, de \theta e de t.
Informações relevantes fornecidas:
  • U=U(r,\theta,\varphi,t) no caso geral, mas aqui U não depende de \varphi, de \theta nem de t. Logo U=U(r) (apenas função do raio r).
  • \kappa é a difusividade térmica (constante positiva).
    A partir daqui vamos reduzir o laplaciano em coordenadas esféricas usando a hipótese de independência angular e temporal, e resolver a equação resultante.

Passo 2

Escrevo a forma geral do laplaciano em coordenadas esféricas (variáveis: r radial, \theta colatitude, \varphi longitude):
\nabla^{2} U = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial U}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial U}{\partial\theta}\right) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} U}{\partial \varphi^{2}}.
Explicação breve dos termos:
  • O primeiro termo é a contribuição radial: mistura r^{2} com a derivada radial porque o elemento de volume esférico cresce como r^{2}.
  • Os outros dois termos vêm das variações angulares em \theta e \varphi.

Passo 3

Agora uso a hipótese de independência angular: U não depende de \theta nem de \varphi. Então
\frac{\partial U}{\partial\theta}=0\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial U}{\partial\varphi}=0,
o que anula os dois últimos termos do laplaciano. Portanto, para uma função radial U=U(r),
\nabla^{2} U = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d r}\!\left(r^{2}\frac{d U}{d r}\right).
Observação: aqui troquei \partial por d porque agora só resta dependência da variável r.

Passo 4

Também foi dado que U é independente de t. Logo
\frac{\partial U}{\partial t}=0.
Substituindo isso e o laplaciano radial na equação do calor obtemos a equação reduzida (estado estacionário radial):
0 = \kappa \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d U}{d r}\right).
Como \kappa>0, podemos dividir por \kappa e escrever a forma canônica da equação ordinária:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d U}{d r}\right)=0.

Passo 5

Agora resolvo a equação diferencial ordinária passo a passo. Seja
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d U}{d r}\right)=0.
Integro em relação a r: existe uma constante A tal que
r^{2}\frac{d U}{d r} = A.
Então
\frac{d U}{d r} = \frac{A}{r^{2}}.
Integrando novamente em r obtemos (com constante de integração B)
U(r) = -\frac{A}{r} + B.
Podemos reescrever os constantes trocando de nome, por exemplo U(r)=C_{1}+\dfrac{C_{2}}{r}. Comentário físico: impor condições de contorno determina A e B; por exemplo, exigir U limitada em r=0 força A=0, ficando U constante.

Resposta

0 = \kappa \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{d U}{d r}\right)
U(r)=B-\frac{A}{r}\quad\text{(constantes de integração \(A,B\))}çã

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