18- (a) Expanda
em uma série de Taylor sobre
(b) Determine a região de convergência desta série.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Expandir
numa série de Taylor centrada em . - Determinar a região (ou raio) de convergência dessa série.
Informações dadas e que vamos usar: a função é
e o ponto de expansão é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que define a série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
. A série é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Aqui
. Nosso trabalho é calcular
para todo
(ou achar uma fórmula para eles) e então colocar na soma acima. Vou explicar cada passo devagar para você conseguir reproduzir na prova.
Passo 3
Primeiro, observe o comportamento das derivadas de
. As derivadas se repetem em ciclo de período
:
e assim por diante. Uma maneira compacta de escrever isso é
porque derivar
vezes desloca o argumento por
(isso vem das identidades trigonométricas e do ciclo das derivadas).
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
. Usando a fórmula do passo anterior,
Vamos ver os valores para os restos módulo
. Para
com
e
obtemos
de ângulos onde o valor é
; para
e
obtemos
. Ou seja os valores seguem o padrão
onde
é a sequência periódica
. Uma forma conveniente de indexar é separar em pares usando
e
. Para
temos
Note que tanto para índices pares quanto ímpares a dependência em
é a mesma: um fator
multiplicando
.]
Passo 5
Agora substituímos esses coeficientes na fórmula da série de Taylor. Escrevendo a soma separando termos
e
,
Usando as expressões do passo anterior para
e
, obtemos
Essa é uma forma clara e prática da série centrada em
.
Passo 6
Para visualizar melhor, vamos escrever os primeiros termos (pegando
):
Somando esses dois e os demais termos obtemos a série completa do passo anterior. Essas parcelas iniciais ajudam a conferir o padrão e a usar truncamentos na prova se for pedido aproximar.]
Passo 7
Falta a região de convergência. Há duas formas de justificar rapidamente que a série converge para todo
:
-
Teorema geral: a função
é inteira (isto é, não tem singularidades complexas finitas), portanto a série de Taylor centrada em qualquer ponto converge com raio de convergência . Logo converge para todo . -
Uma verificação por comportamento dos coeficientes: os coeficientes da série são
. Como (na verdade ), temos com . Sabemos que séries com coeficientes que decrescem como têm raio de convergência infinito (pelo teste da raiz ou razão). Portanto .
Ambas as justificativas chegam à mesma conclusão: a série converge para todo
.
Resposta
Raio de convergência: