Express the potential field of an infinite line charge
with V=V0 at rho=rho0

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Expressar o potencial elétrico de uma carga linear infinita, sabendo que V(rho)-V(rho0);=;- integralrho0^rho Ecdot dl quando .”
Conteúdo: eletrostática, mais especificamente campo de uma linha infinita e definição de potencial.
O que a gente vai precisar:
  1. Lei de Gauss para achar o campo elétrico de uma linha infinita com densidade linear .
  2. A relação entre campo e potencial:

Passo 2

Primeiro, o campo elétrico de uma linha infinita. A gente assume simetria cilíndrica: pega um cilindro gaussiano de raio Phi ;=;Qrm encvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(rho),2pirho L ;=;lambda Lvarepsilon0 ;;Rightarrow;; E(rho);=;lambda2pivarepsilon0,rho e comprimento .
  • A carga dentro dele é .
  • O fluxo elétrico é .
    Pela Lei de Gauss,
Aqui explicamos: o campo sai radialmente e é o mesmo em todo ponto a uma mesma .

Passo 3

Agora, a gente usa a definição de potencial. Como o campo é radial, V(rho)-V(rho0) =-integralrho0^rho E(rho'),drho' =-integralrho0^rholambda2pivarepsilon0,rho',drho' e
-integralrho0^rhodrho'rho' =-l[ln(rho')r]rho0^rho =-l(lnrho-lnrho0r) =-ln!rhorho0
Vamos resolver esse integral de log:
V(rho)-V(rho0) =-lambda2pivarepsilon0ln!rhorho0
Então

Resposta

Como boxed% V(rho) ;=; V0 ;-; lambda2pivarepsilon0,ln!rhorho0 ;=; V0 ;+; lambda2pivarepsilon0,ln!rho0rho , a gente finalmente tem
Pronto! Esse é o potencial de uma linha infinita com referência .

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