Uma expressão equivalente a
a \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}, \quad \text { para } a>0 \text { e } b>0
é:

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
a \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2},
com as condições a>0 e b>0. A tarefa é encontrar uma expressão equivalente mais simples.

Passo 2

Para simplificar, é útil reconhecer uma forma quadrada dentro da raiz. Faço a substituição auxiliar
x=\frac{a}{b},
que é bem definida pois b>0. Com isso o interior da raiz vira
\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2.

Passo 3

Agora uso a identidade do quadrado da soma:
\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}.
Portanto
x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, obtemos
a \sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}}.
Como, para todo número real y, vale \sqrt{y^{2}}=|y|, isso dá
a\left|x+\frac{1}{x}\right|.
Voltando x=\dfrac{a}{b},
a\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|.

Passo 5

Agora usamos as hipóteses a>0 e b>0. Então \dfrac{a}{b}>0 e \dfrac{b}{a}>0, logo a soma \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} é positiva. Assim o valor absoluto pode ser removido:
a\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).

Passo 6

Basta distribuir a e simplificar:
a\cdot\frac{a}{b}+a\cdot\frac{b}{a}=\frac{a^{2}}{b}+b.
Também se pode escrever de forma única como
\frac{a^{2}+b^{2}}{b}.

Resposta

\dfrac{a^{2}}{b}+b

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