Simplificando a expressão
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}
temos:

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}
e pede para simplificá‑la. Informação importante a notar desde já: o denominador impõe a restrição x^{2}+y^{2}\neq0 (ou seja, não se pode ter simultaneamente x=0 e y=0).

Passo 2

Repare que a soma é comutativa, isto é, (y+x)=(x+y). Então podemos substituir (y+x)^{3} por (x+y)^{3} no numerador. Escrevendo isso:
(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}=(x+y)^{3}-2(x+y)^{3}.

Passo 3

Fatorando (x+y)^{3} no numerador obtemos
(x+y)^{3}-2(x+y)^{3}=(x+y)^{3}\bigl(1-2\bigr)=(x+y)^{3}\cdot(-1)=-(x+y)^{3}.
Portanto a expressão original fica
\frac{(x+y)^{3}-2(y+x)^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}},
válido para x^{2}+y^{2}\neq0.

Passo 4

Se quiser ver outra escrita equivalente, fatoramos um pouco mais o numerador:
-(x+y)^{3}=-(x+y)\,(x+y)^{2}=-(x+y)\,(x^{2}+2xy+y^{2}).
Assim
-\frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}=-(x+y)\,\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Podemos separar a fração para obter uma forma que evidencia a diferença entre os quadrados:
-(x+y)\,\frac{x^{2}+2xy+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=-(x+y)\left(1+\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}\right).
Note que não há cancelamento simples entre (x^{2}+2xy+y^{2}) e (x^{2}+y^{2}) em geral — só se cancelaria em casos particulares de x e y que satisfaçam alguma relação especial.

Resposta

-\dfrac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}

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