Qual a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal?
p H=p K_{a}+\log \left(\frac{\left[A^{-}\right]}{[H A]}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a expressão matemática usada para calcular o pH de uma solução tampão composta por um ácido fraco e seu sal.
Informação fornecida: a expressão indicada é pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right).

Passo 2

Escrevendo a reação de dissociação do ácido fraco HA:
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{A}^{-}
Aqui os colchetes representam concentrações molares: [\mathrm{H}^{+}], [\mathrm{A}^{-}] e [\mathrm{HA}] são concentrações em mol/L.

Passo 3

Definição da constante de acidez K_{a} para essa reação:
K_{a}=\frac{[\mathrm{H}^{+}]\,[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}
Explanação: K_{a} mede a tendência do ácido a se dissociar; é um número conhecido (ou dado) para cada ácido fraco.

Passo 4

Isolando [\mathrm{H}^+] na expressão de K_a:
[\mathrm{H}^{+}] = K_{a}\,\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^{-}]}
Interpretação: a concentração de íons hidrogênio depende de K_a e da razão entre as concentrações do ácido não dissociado e do seu ânion.

Passo 5

Passo para pH: aplicar -\log_{10} em ambos os lados (definição de pH e pK_a):
pH = -\log_{10}[\mathrm{H}^{+}] \qquad\text{e}\qquad pK_{a} = -\log_{10}K_{a}
Agora substituir [\mathrm{H}^{+}] da Passo 4 e usar propriedades de log:
pH = -\log_{10}\!\left(K_{a}\,\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^{-}]}\right) = -\log_{10}K_{a} - \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^{-}]}\right)
Usando -\log_{10}K_{a} = pK_{a} e -\log_{10}\!\left(\dfrac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^{-}]}\right)=\log_{10}\!\left(\dfrac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}\right), obtemos a forma final:
pH = pK_{a} + \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}\right)

Passo 6

O que cada termo significa (explicação detalhada):
  • pH: medida da acidez, pH = -\log_{10}[\mathrm{H}^+].
  • pK_{a}: pK_{a} = -\log_{10}K_{a}, característica do ácido (quanto menor pK_a, mais forte o ácido fraco).
  • [\mathrm{A}^{-}]: concentração do sal (base conjugada) no equilíbrio (aproximadamente a concentração inicial do sal na maioria dos tampões).
  • [\mathrm{HA}]: concentração do ácido fraco não dissociado (aprox. concentração inicial do ácido).
  • \log é logaritmo decimal (base 10).

Passo 7

Hipóteses e quando a fórmula vale bem:
  • Usa-se concentrações (colchetes) como aproximação das atividades. Para soluções diluídas e baixa força iônica essa aproximação é razoável.
  • Funciona melhor quando nem [\mathrm{HA}] nem [\mathrm{A}^-] são extremamente baixos e quando o grau de dissociação do ácido é pequeno comparado às concentrações do tampão (ou seja, tampão “concentrado” o suficiente).
  • Regra prática: a equação é confiável quando as concentrações iniciais do ácido e do sal são pelo menos da ordem de 10^{-3} M e a razão [\mathrm{A}^-]/[\mathrm{HA}] não é extrema. Para precisão maior deve-se usar atividades.

Passo 8

Exemplos simples para treinar (passo-a-passo, sem calculadora para casos fáceis):
  • Caso 1: [\mathrm{A}^-]=0{,}10\\ \mathrm{M} e [\mathrm{HA}]=0{,}10\\ \mathrm{M}. Então \dfrac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}=1 e \log_{10}1=0. Logo pH=pK_a. Dica de prova: se as concentrações são iguais, pH = pKa.
  • Caso 2: [\mathrm{A}^-]=0{,}10\\ \mathrm{M} e [\mathrm{HA}]=0{,}01\\ \mathrm{M}. Razão =10, \log_{10}10=1. Então pH = pK_a + 1. Isso mostra que aumentar a base conjugada em 10× aumenta o pH em 1 unidade.

Passo 9

Dicas práticas para prova e intuição:
  • Para ajustar pH de um tampão, mexe-se na razão [\mathrm{A}^-]/[\mathrm{HA}]: aumentar [\mathrm{A}^-] sobe o pH; aumentar [\mathrm{HA}] baixa o pH.
  • Capacidade tampão é máxima quando [\mathrm{A}^-]\approx[\mathrm{HA}] (ou seja, pH próximo de pK_a). A faixa útil do tampão costuma ser pK_a \pm 1.
  • Sempre verificar unidades: concentrações em mol/L e logaritmo decimal.

Passo 10

Resumo final curto (para decorar e usar na prova): a expressão que se usa é a equação de Henderson–Hasselbalch,
pH = pK_{a} + \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^{-}]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Você consegue — pratique com uns 2–3 exemplos como os acima e isso fica automático na hora da prova!

Resposta

pH = pK_{a} + \log\!\left(\dfrac{[A^{-}]}{[HA]}\right)

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