1. A expressão matricial de um sistema S é:
\left[\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -4 \\ 7 \end{array}\right] . \text { Determine as equações de } \mathrm{S} \text {. }çõ

Passo 1

O enunciado dá a expressão matricial
\begin{pmatrix} 2 & -5\\[4pt] 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a\\[4pt] b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\[4pt] 7 \end{pmatrix}
e pede: "Determine as equações de S". Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{matriz dos coeficientes}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix},\quad \text{vetor incógnita}=\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix},\quad \text{termos independentes}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]7\end{pmatrix}.ó
O que se pede explicitamente é escrever as equações escalares correspondentes a essa igualdade matricial (ou seja, transformar a multiplicação de matriz por vetor nas duas equações em a e b).]

Passo 2

Explicação do procedimento (matriz vezes vetor coluna): quando multiplicamos uma matriz 2\times 2 pela coluna de incógnitas \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}, obtemos um vetor coluna com duas entradas. Cada entrada é o produto escalar (dot product) da linha correspondente da matriz pelos componentes do vetor incógnita. Vou explicar o que é produto escalar de forma simples: se você tem uma linha (x_1,x_2) e um vetor coluna \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix}, o produto escalar é
x_1\cdot y_1 + x_2\cdot y_2.
Aqui as variáveis x_i e y_i representam números (ou incógnitas), e você multiplica componente a componente e soma os resultados.]

Passo 3

Aplicando isso à primeira linha da matriz \begin{pmatrix}2 & -5\end{pmatrix} e ao vetor \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix}, o produto escalar é
2\cdot a + (-5)\cdot b,
que simplificamos para
2a - 5b.
Essa expressão deve ser igual à primeira entrada do vetor do lado direito, que é -4.]

Passo 4

Aplicando o mesmo raciocínio à segunda linha da matriz \begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}, o produto escalar com \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} é
3\cdot a + 1\cdot b,
que simplificamos para
3a + b.
Essa expressão deve ser igual à segunda entrada do vetor do lado direito, que é 7.]

Passo 5

Agora escrevemos as duas equações escalares obtidas, cada uma correspondendo a uma linha da multiplicação matricial:
2a - 5b = -4
3a + b = 7
Essas duas equações formam exatamente o sistema S pedido. Se você quiser, mais tarde podemos resolver esse sistema (por substituição ou eliminação) para achar os valores de a e b; por enquanto o pedido era só escrever as equações.

Resposta

2a - 5b = -4
3a + b = 7

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