Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
a) \left\{\begin{array}{l}x+2 y=5 \\\\ 2 x-3 y=-4\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema a resolver:
\begin{cases} x + 2y = 5,\\[4pt] 2x - 3y = -4. \end{cases}
Informações dadas:
\text{coeficientes: } a_{11}=1,\; a_{12}=2,\; a_{21}=2,\; a_{22}=-3;
\text{termos independentes: } b_1=5,\; b_2=-4.
O que o enunciado pede: encontrar os valores de x e y que satisfazem ambas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Apresentação do método (fórmulas que vamos usar) e significado das letras:
Considere o sistema genérico de duas equações
\begin{cases} a x + b y = e,\\[4pt] c x + d y = f. \end{cases}
Definimos o determinante da matriz dos coeficientes como
D = \begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.
As regras para obter os determinantes que aparecem nas soluções são:
D_x = \begin{vmatrix} e & b \\\ f & d \end{vmatrix} = ed - bf, \qquad D_y = \begin{vmatrix} a & e \\\ c & f \end{vmatrix} = af - ce.
Se D \neq 0, a solução única é dada por
x = \frac{D_x}{D},\qquad y = \frac{D_y}{D}.
Breve explicação intuitiva: D mede se as duas equações são linearmente independentes; se D=0 não há solução única (pode não haver solução ou haver infinitas). Aqui vamos aplicar essas fórmulas com os números do nosso sistema.]

Passo 3

Formamos o determinante dos coeficientes D usando os coeficientes do sistema:
D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 2 & -3 \end{vmatrix} = 1\cdot(-3) - 2\cdot 2.
Calcule passo a passo:
1\cdot(-3) = -3,\qquad 2\cdot 2 = 4,
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D = -3 - 4 = -7.
Como D = -7 \neq 0, existe solução única e podemos continuar.]

Passo 4

Calculamos D_x substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (5,-4):
D_x = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\[4pt] -4 & -3 \end{vmatrix} = 5\cdot(-3) - 2\cdot(-4).
Compute cada parte:
5\cdot(-3) = -15,\qquad 2\cdot(-4) = -8,
então
D_x = -15 - (-8) = -15 + 8 = -7.]

Passo 5

Calculamos D_y substituindo a segunda coluna pelos termos independentes (5,-4):
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\[4pt] 2 & -4 \end{vmatrix} = 1\cdot(-4) - 5\cdot 2.
Calcule:
1\cdot(-4) = -4,\qquad 5\cdot 2 = 10,
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D_y = -4 - 10 = -14.]

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas para x e y:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-7}{-7} = 1,
y = \frac{D_y}{D} = \frac{-14}{-7} = 2.
Vamos checar substituindo na equação original para garantir que não houve erro:
x + 2y = 1 + 2\cdot 2 = 1 + 4 = 5 \quad\checkmark,
2x - 3y = 2\cdot 1 - 3\cdot 2 = 2 - 6 = -4 \quad\checkmark.
Tudo confere — solução correta!

Resposta

x=1\
y=2

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