A expressão regular \left(a^{*} \mid a a^{*}\right)(a \mid \varepsilon) é equivalente a:
(a) a a a a^{*}
(b) a a^{*}
(c) a^{*}
(d) \varepsilon \mid a

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão regular
(a^{*}\mid a\,a^{*})\,(a\mid \varepsilon)
e escolher, entre as alternativas dadas, aquela que gera o mesmo conjunto de cadeias. Vamos usar as propriedades de união \cup e de fecho de Kleene \ast.

Passo 2

Primeiro analisamos a união interna:
a^{*}\;\cup\;a\,a^{*}.
Sabemos que a\,a^{*}=a^{+} gera todas as cadeias não vazias de a, enquanto a^{*} já gera todas as cadeias de a, incluindo a vazia. Logo
a^{*}\;\cup\;a^{+}=a^{*}.
Portanto
(a^{*}\mid a\,a^{*}) = a^{*}.

Passo 3

Agora simplificamos a concatenação com (a\mid \varepsilon):
a^{*}\,(a\cup \varepsilon) = a^{*}a \;\cup\; a^{*}\varepsilon = a^{+}\;\cup\;a^{*}.
Como a^{*} já contém todas as cadeias de a (tanto as vazias quanto as não vazias), temos
a^{+}\;\cup\;a^{*} = a^{*}.

Passo 4

A expressão toda se reduz a a^{*}, que corresponde à alternativa (c).

Resposta

(c) a^{*}

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