Expresse a dízima periódica como a razão de dos inteiros 3 . \overline{142857}
Passo 1
O enunciado pede para converter a dízima periódica 3.\overline{142857} em uma fração \tfrac{p}{q}, com p e q inteiros. O conteúdo envolvido é a técnica de “multiplicar para deslocar a parte periódica” e depois usar subtração para eliminar a repetição decimal.
Passo 2
Seja
x = 3.\overline{142857}.
Como o período tem 6 dígitos, multiplicamos por 10^6 para alinhar as repetições:
10^{6}x = 3\,142\,857.\overline{142857}.
Passo 3
Agora subtraímos a equação original da multiplicada por 10^6:
10^{6}x - x = 3\,142\,857.\overline{142857} - 3.\overline{142857}
que dá
999\,999x = 3\,142\,854.
Passo 4
Isolando x, temos
x = \frac{3\,142\,854}{999\,999}.
Para simplificar, note que ambos são divisíveis por 3 repetidamente: