Expresse a dízima periódica como a razão de dos inteiros
3 . \overline{142857}

Passo 1

O enunciado pede para converter a dízima periódica 3.\overline{142857} em uma fração \tfrac{p}{q}, com p e q inteiros. O conteúdo envolvido é a técnica de “multiplicar para deslocar a parte periódica” e depois usar subtração para eliminar a repetição decimal.

Passo 2

Seja
x = 3.\overline{142857}.
Como o período tem 6 dígitos, multiplicamos por 10^6 para alinhar as repetições:
10^{6}x = 3\,142\,857.\overline{142857}.

Passo 3

Agora subtraímos a equação original da multiplicada por 10^6:
10^{6}x - x = 3\,142\,857.\overline{142857} - 3.\overline{142857}
que dá
999\,999x = 3\,142\,854.

Passo 4

Isolando x, temos
x = \frac{3\,142\,854}{999\,999}.
Para simplificar, note que ambos são divisíveis por 3 repetidamente:
\frac{3\,142\,854}{999\,999} = \frac{1\,046\,2854}{333\,333} = \frac{349\,206}{111\,111} = \frac{116\,402}{37\,037}.
Aplicando o algoritmo de Euclides em 116\,402 e 37\,037 encontra-se o máximo divisor comum 5\,291, de modo que
\frac{116\,402}{37\,037} = \frac{116\,402 \div 5\,291}{37\,037 \div 5\,291} = \frac{22}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{22}{7}

Exercícios relacionados